考虑将单纯形法的求解过程用矩阵进行描述，对于已经引入松弛变量的 LP 问题，其约束条件
[BX_B+NX_N=b ag{1}
]
目标函数
[C_BX_B+C_NX_N=z ag{2}
]
联立消去 (X_B) 得
[z=C_BB^{-1}b+(C_N-C_BB^{-1}N)X_N ag{3}
]
其中 (C_N-C_BB^{-1}N) 就是所谓的检验数 (sigma)。
因此，单纯形表可以描述为
| 基变量 (X_B) | 非基变量 (X_N) | 右侧 RHS | |
|---|---|---|---|
| 系数矩阵 | (I) | (B^{-1}N) | (B^{-1}b) |
| 检验数 | (0) | (C_N-C_BB^{-1}N) | (-C_BB^{-1}b) |
任意时刻各个部分的核心是某个已知矩阵的部分左乘一个 (B^{-1})，因此求解的核心在于快速地维护 (B^{-1})。
以下我们设 (P_k) 是 (x_k) 对应的原始系数矩阵的那一列。
我们有递推式
[B_{i}^{-1}=E_iB_{i-1}^{-1} ag{4}
]
其中 (E_i) 是把一个单位矩阵中，第 (j) 列替换为 (xi_i) 后的结果，其中 (j) 表示本次新换入的基在 (B_i) 中对应第 (j) 列，(xi_i) 由本次换入变量在换入前 (B_{i-1}^{-1}N_{i-1}) 中对应的列 ((a_1,a_2,...,a_m)) 变换得到，设 (l) 是换出变量对应的行，则
[xi_i = (-frac {a_1} {a_l}, ...,frac 1 {a_l},...,- frac {a_m} {a_l}) ag{5}
]
于是，
[B_i^{-1}=(e_1,...,e_{j-1},xi_i,e_{j+1},...,e_m)B^{-1}_{i-1} ag{6}
]
换入变量求解根据检验数
[sigma_i = C_{N_i}-C_{B_i}B_i^{-1}N_i ag{7}
]
中找最小值下标即可得到，换出变量根据 ( heta) 法则求
[ heta = displaystylemin_l { frac {B_i^{-1}b} {B_i^{-1}P_k} | B_i^{-1}P_k >0} ag{8}
]
即可得到。