Description
求满足 (n+1sim 2n) 之间恰有 (m) 个数二进制表示中有 (k) 个 (1) 的 (n),输出任意一个解即可。
Solution
容易证明 (n+1 sim 2n) 中有 (k) 个 (1) 的个数随着 (n) 增大而单调不降
于是二分 (n),问题转化为求 (n+1 sim 2n) 中有 (k) 个 (1) 的数的个数,对于每一次求 (sum(i)) 即 (1 sim i) 中有 (k) 个 (1) 的数的个数
令 (f[i][j][0/1]) 表示考虑到底 (i) 位,(1) 的数量为 (j) 的数,前 (i) 位是否已经达到最大时的个数,则
如果 (a[i]=1)
[f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j-1][0]+f[i-1][j][1]
\
f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]
]
如果 (a[i]=0)
[f[i][j][0]=f[i-1][j][0] + f[i-1][j-1][0]
\
f[i][j][1]=f[i-1][j][1]
]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 105;
int f[N][N][2],a[N],n,m,k;
int check(int n)
{
memset(a,0,sizeof a);
memset(f,0,sizeof f);
for(int i=62;i>=0;--i)
{
a[i]=(n>>i)&1;
}
reverse(a,a+63);
f[0][0][1]=1;
for(int i=1;i<=62;i++)
{
for(int j=0;j<=62;j++)
{
if(a[i])
{
f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+(j?1:0)*f[i-1][j-1][0]+f[i-1][j][1];
if(j) f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1];
}
else
{
f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+(j?1:0)*f[i-1][j-1][0];
f[i][j][1]=f[i-1][j][1];
}
}
}
return f[62][k][0]+f[62][k][1];
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>m>>k;
int l=1,r=1e18;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(check(mid*2)-check(mid)<m) l=mid+1;
else r=mid;
}
cout<<r<<endl;
}