[CF1166E] The LCMs Must be Large

给定由 (n) 个整数组成的集合 (A)。现给定 (m) 组集合，每个集合 (S_i) 都是 (A) 的一个真子集（这里的集合描述为 (A) 中元素下标集合），求是否存在集合 (A) 使得对 (forall_{1 leq i leq m}) 不等式 (LCM(S_i) > LCM(A - S_i)) 恒成立。

Solution

如果存在两个集合没有交集，设为 (S,T)，则 (LCM(S)> LCM(A-S) ge LCM(T))，破坏了对称性，则一定无解

否则我们给每个集合安排一个质数 (p_i)，设用过的所有质数集合为 (P)，设 (prod S) 是整数集合 (S) 的广义积，那么对于集合 (i)，其 (LCM) 为 (prod P)，而其补集一定不大于 (prod P-{ p_i })，于是一定存在解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bitset <10001> bs[55];

int n,m,k,t;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>m>>n;
    int fg=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>k;
        while(k--) {
            cin>>t;
            bs[i][t]=1;
        }
        for(int j=1;j<i;j++) if((bs[i]&bs[j]).count()==0) fg=0;
    }
    cout<<(fg?"possible":"impossible");
}