11道背包问题

1.01背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int f[N];
int n,V,v,w;
int main(){
    cin>>n>>V;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>v>>w;
        for(int j=V;j-v>=0;j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

2.完全背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,V,v,w;
int f[N];
int main(){
    cin>>n>>V;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>v>>w;
        for(int j=0;j<=V;j++){
            if(j-v>=0)f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

3. 多重背包问题 I 普通写法o(n^3)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,V,v,w,s;
int f[N];
int main(){
    cin>>n>>V;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>v>>w>>s;
        for(int j=V;j>=0;j--){
            for(int k=1;k<=s;k++){
                if(j-k*v>=0)f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
        }
    }
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

4.多重背包问题 II 二进制拆分o(n^2logs)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4000005;
int n,V,v,w,s;
int f[N],a[N],b[N];
int main(){
    int cnt=1,m;
    cin>>n>>V;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>v>>w>>s;
        for(int j=1;j<=s;j<<=1){
            b[cnt]=j*w;
            a[cnt++]=j*v;
            s-=j;
        }
        if(s>0){
            b[cnt]=s*w;
            a[cnt++]=s*v;
        }
    }
    for(int i=1;i<cnt;i++){
        for(int k=V;k>=0;k--){
            if(k-a[i]>=0){
                f[k]=max(f[k],f[k-a[i]]+b[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}

5.多重背包问题 III 单调队列(困难，待补坑)

6.混合背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int a[N*N],b[N*N],c[N*N],f[N];
int main(){
    int n,v,inf=0;
    cin>>n>>v;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        if(!s){//完全
            a[inf]=v;
            b[inf]=w;
            c[inf++]=0;
        }
        else{
            if(s==-1){
                a[inf]=v;
                b[inf]=w;
                c[inf++]=1;//01
            }
            else{//多重背包
                int k=1;
                while(k<=s){
                    a[inf]=k*v;
                    b[inf]=k*w;
                    c[inf++]=1;
                    s-=k;
                    k<<=1;
                }
                if(s){
                    a[inf]=s*v;
                    b[inf]=s*w;
                    c[inf++]=1;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<inf;i++){
        if(c[i]==0){
            for(int j=a[i];j<=v;j++){
                f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);
            }
        }
        else{
            for(int j=v;j>=a[i];j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[v]<<endl;
    return 0;
}

7. 二维费用的背包问题

满足体积和重量两种要求

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int f[N][N];
int a[N],b[N],c[N];
int main(){
    int n,v,m;
    cin>>n>>v>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,m,w;
        cin>>v>>m>>w;
        a[i]=v,b[i]=m,c[i]=w;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=v;j>=a[i];j--){
            for(int z=m;z>=b[i];z--){
                 f[j][z]=max(f[j][z],f[j-a[i]][z-b[i]]+c[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[v][m]<<endl;
    return 0;
}

8. 分组背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int f[N];
int a[N][N],b[N][N],c[N];
int main(){
    int n,v,m,inf=0;
    cin>>n>>v;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int s,v,w;
        cin>>s;
        c[i]=s;
        for(int j=0;j<s;j++){
            cin>>v>>w;
            a[i][j]=v,b[i][j]=w;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=v;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<c[i];k++){
                if(j>=a[i][k]){
                    f[j]=max(f[j],f[j-a[i][k]]+b[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[v]<<endl;
    return 0;
}

9. 有依赖的背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
vector<int>a[N];
int n,m,root,son;
int v[N],w[N];
int f[N][N];///代表当前节点u最大体积为v的最大价值
void dfs(int u){
    for(int i=v[u];i<=m;i++){
        f[u][i]=w[u];///根节点的值先赋值
    }
    for(int i=0;i<a[u].size();i++){///枚举子树
        int son=a[u][i];
        dfs(son);///递归子树
        for(int j=m;j>=v[u];j--){///从大到小枚举(01背包),j必须大于v[u]才能存放根节点
            for(int k=0;k<=j-v[u];k++){///k是留给子树的容量,k必须小于等于j-v[u]才能保证根节点能存放
                f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]);
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int V,W,p;
        cin>>V>>W>>p;
        if(p==-1){
            root=i;
            v[root]=V;
            w[root]=W;
        }
        else{
            a[p].push_back(i);
            v[i]=V;
            w[i]=W;
        }
    }
    dfs(root);
    cout<<f[root][m]<<endl;
    return 0;
}

10.背包问题求方案数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
const int mod = 1e9+7;
int f[N],g[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    g[0]=1;///初始化
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=m;j>=v;j--){
            int s=0;///当前最优价值的方案数
            int t=max(f[j],f[j-v]+w);
            if(t==f[j])s+=g[j];///最大值是f[j]
            if(t==f[j-v]+w)s+=g[j-v];///也可以是两者值相等，则方案数相加
            f[j]=t;
            g[j]=s;///更新
            g[j]%=mod;
        }
    }
    int maxx=-1;
    for(int i=0;i<=m;i++){
        maxx=max(maxx,f[i]);///取出最大价值
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=m;i++){
        if(f[i]==maxx){///判断当前体积能否达到最大价值，可以就加上方案数
            res+=g[i];
        }
        res%=mod;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

11.背包问题求具体方案，要求输出字典序最小的具体方案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
const int mod = 1e9+7;
int f[N][N];///f[i][j]代表第i个元素到最后元素的最大价值
int v[N],w[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){///从后往前，最后得到的f[1][m]是1到n的最大价值
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i+1][j];
            if(j>=v[i]){
                f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    int s=m;
    for(int i=1;i<=n;i++){///字典序要尽量小，则从前往后找
        if(v[i]<=s&&f[i][s]==f[i+1][s-v[i]]+w[i]){///如果第i个被选中
            printf("%d ",i);
            s-=v[i];///减掉该物品的体积
        }
        if(s<=0)break;
    }
    return 0;
}