BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“(alpha)”。“(alpha)被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“(alpha)”。
第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“(eta)”。“(eta)”被定义为“(alpha)”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“(eta)”。
第四天，上帝创造了新的元素“(gamma)”，“(gamma)”被定义为“(eta)”的集合。显然，一共会有(16)种不同的“(gamma)”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有(2^{65536})种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“( heta)”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“( heta)”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对(p)取模后的值即可。
你可以认为上帝从“(alpha)”到“( heta)”一共创造了(10^{9})次元素，或(10^{18})次，或者干脆(infty)次。
一句话题意：

Input

接下来(T)行，每行一个正整数(p)，代表你需要取模的值

Output

(T)行，每行一个正整数，为答案对(p)取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于(100\%)的数据，(T le 1000,p le 10^{7})

对于此题一个重要的定理：
当(b ge phi(c))

[a^{b} equiv a^{b ; mod ; phi(c)+phi(c)}(mod ; c) ]

因为指数为无限项，恒有(b ge phi(c))，所以根据这个定理，我们就可以做题了。
令

[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}}} mod ; c ]

则有

[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}} ; mod ; phi(c) + phi(c)}; mod ; c=2^{f(phi(c))+phi(c)} ]

递归边界：

[f(1)=0 ]

所以这题就可以做了。
～～我深深感觉到了自己数学的弱菜，只知道定理却不会用。恶补数学ing～～

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
using namespace std;

typedef long long ll;
map <int,int> M;

inline ll qsm(ll a,ll b,ll c)
{
	ll ret = 1;
	for (;b;b >>= 1,(a *= a)%=c)
		if (b & 1) (ret *= a)%=c;
	return ret;
}

inline ll phi(ll n)
{
	ll ret = n;
	for (ll i = 2;i*i <= n;++i)
	{
		if (n % i == 0)
		{
			while (n % i == 0) n /= i;
			ret /= i; ret *= i-1;
		}
	}
	if (n > 1) ret /= n,ret *= n-1;
	return ret;
}

inline ll calc(ll n)
{
	if (M.count(n)) return M[n];
	ll p = phi(n);
	return M[n] = qsm(2,calc(p)+p,n);
}

int main()
{
	freopen("3884.in","r",stdin);
	freopen("3884.out","w",stdout);
	ll T; scanf("%lld",&T);
	M[1] = 0;
	while (T--)
	{
		ll n; scanf("%lld",&n);
		printf("%lld
",calc(n));
	}
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}