P3940 分组
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3940
官方题解http://pan.baidu.com/s/1eSAMuXk
分析:
并查集。
首先根据K=1和K=2分成两个问题来做。
K=1:问题为分成最小数量的区间,使得每个区间满足:任意两个数的和都不是完全平方数(1,3位于一个集合是不可以的),输出字典序最小的方案。
一个性质:一个集合越长越好(ppt里有证明)。那么从后往前扫,每到一个判断是否可以加进去,不可以的时候,记录答案。如果直接判断是$n^2$,可以枚举$x^2$来判断,复杂度$O(nsqrt n)$。
K=2:问题为分成最小数量的区间,使得每个区间满足:区间可以任意划分为至多两个集合,这两个集合内部任意两个数的和都不是完全平方数。(1,3,5是可以在分成一段的,因为可以划分为{1,3},{5})
上面的性质还是适用的,所以同样是从后往前扫,每扫到一个判断是否可以加入。这个地方可以记录一个并查集,维护“敌人”集合。$x+n$表示x的“敌人”(不可以一起存在的)。那么如果两个数a+b属于同一个集合,说明a和b用一个共同的敌人,那么a和b就必须在同一个集合里。加入一个x,判断是否可以$k^2-x$共存在这个区间里。注意到一个问题:如果一个数出现了多次,如果它是$2x=k^2$的形式,需要特判(见代码),其他的都可以放进一个集合里。
代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<iostream> 6 #include<cctype> 7 #include<set> 8 #include<vector> 9 #include<queue> 10 #include<map> 11 #define fi(s) freopen(s,"r",stdin); 12 #define fo(s) freopen(s,"w",stdout); 13 using namespace std; 14 typedef long long LL; 15 16 inline int read() { 17 int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1; 18 for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-'0';return x*f; 19 } 20 21 const int N = 131073; 22 23 int a[N], fa[N << 1]; 24 int n, Mx; 25 bool vis[N], Ban[N], issqr[N << 1]; 26 vector<int> ans; 27 28 void solve1() { 29 for (int j = n, i = n; i>=1; ) { 30 for (bool flag = 1; j >= 1; -- j) { 31 for (int k=1, tmp; ; ++ k) { 32 tmp = k * k - a[j]; 33 if (tmp <= 0) continue; if (tmp > Mx) break; 34 if (vis[tmp]) { flag = 0; break; } 35 } 36 if (!flag) break; 37 vis[a[j]] = true; 38 } 39 if (!j) break; 40 ans.push_back(j); 41 for (; i > j; -- i) vis[a[i]] = false; 42 } 43 } 44 45 int find(int x) { 46 return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); 47 } 48 49 bool check(int u,int v) { 50 int u1 = find(u), u2 = find(u + Mx); 51 int v1 = find(v), v2 = find(v + Mx); 52 if (u1 == v1) return 1; 53 fa[u1] = v2; fa[v1] = u2; 54 return 0; 55 } 56 57 void solve2() { 58 for (int i = 1; i <= (Mx << 1); ++i) fa[i] = i; 59 for (int i = 1; i * i <= (Mx << 1); ++i) issqr[i * i] = 1; 60 for (int i = n, j = n; i; ) { 61 for (bool flag = 1; j; --j) { 62 if (!vis[a[j]]) { // 未出现过 63 for (int k = 1, tmp; ; ++k) { 64 tmp = k * k - a[j]; 65 if (tmp <= 0) continue; if (tmp > Mx) break; 66 if (vis[tmp] && (Ban[a[j]] || Ban[k * k - a[j]] || check(k * k - a[j], a[j]))) { 67 flag = 0; fa[a[j]] = a[j], fa[a[j] + Mx] = a[j] + Mx; break; 68 } 69 } 70 if (!flag) break; 71 vis[a[j]] = true; 72 } 73 // 出现过:只有2*a=x^2(2,8...)的情况要特判,其他的都可以分到一集合里。 74 // 这些数最多出现两个,而且没有第三个敌人 75 else if (issqr[a[j] + a[j]]) { 76 if (Ban[a[j]]) break; 77 for (int k = 1, tmp; ; ++k) { // 判断是否有第三个敌人 78 tmp = k * k - a[j]; 79 if (tmp < 0) continue; if (tmp > Mx) break; 80 if (vis[tmp] && k * k != a[j] * 2) { flag = 0; break; } 81 } 82 if (!flag) break; 83 Ban[a[j]] = true; // a[j]以前一个,现在一个 a[j]以后不能再有了。 84 } 85 } 86 if (!j) break; 87 ans.push_back(j); 88 for (; i > j; --i) fa[a[i]] = a[i], fa[a[i] + Mx] = a[i] + Mx, vis[a[i]] = Ban[a[i]] = 0; 89 } 90 } 91 92 int main() { 93 n = read();int K = read(); 94 for (int i=1; i<=n; ++i) a[i] = read(), Mx = max(Mx, a[i]); 95 if (K == 1) solve1(); 96 else solve2(); 97 printf("%d ",ans.size() + 1); 98 for (int i=ans.size()-1; i>=0; --i) printf("%d ",ans[i]); putchar(' '); 99 return 0; 100 }