序列极限的定义
收敛与发散
(N) 依赖于 (varepsilon) ，求 (N) 就是解不等式
几何语言：任意 (varepsilon) 领域外面只有有限项
以下概念在定义时有区别：
| 发散 | 收敛的逆命题（对任意 (A) ） | (forall A in mathbb{R},exists varepsilon_0 > 0,s.t.forall N in mathbb{N},exists n_N > N, vert x_{n_N} - Avert ge varepsilon_0) |
| 不收敛于 (A) | 收敛于 (A) 的逆命题（对给定的 (A) ） | (exists varepsilon_0 > 0 s.t. forall N in mathbb{N}, exists n_N > N, vert x_{n_N} - A vert ge varepsilon_0) |
| 无穷大量 | 发散的一种特殊情况（单调地趋于无穷） | (forall M > 0,exists N in mathbb{N}, s.t.forall n > N,vert x vert ge M) |
| 无界 | 单调或者不单调地趋于无穷（包含无穷大、振荡、分段函数等多种情况） |  |
求序列极限（极限存在才能求）
要么证明极限存在，要么用上下极限相等。
两边求极限之后 (<) 可写作 (le)
求序列极限的时候，看看 (n o infty) 时，序列趋大还是趋小，趋大就要在分母上做文章，不好判断的另说
特殊的极限:
[lim_{n o infty}sqrt[n]{n} = 0 \
lim_{n o infty}sqrt[n]{a} = 1(a > 1)
]
常用的方法：
- 取对数
- 令 (q(q>1) = 1 + h_n) ，再利用二项式展开。
- 加一项，减一项使得与已知极限发生关系
- 有理分式求极限的时候，如果上下次数相同，可以提出最高项
- 等价无穷小替换（只能乘除）
- 无法用等价无穷小替换的时候，通过别的方法配凑出重要极限 (mathop{lim}limits_{x o 0} Large frac{sin x}{x} ormalsize = 1)，(mathop{lim}limits_{x o 0} (1 + x)^{frac{1}{x}} ormalsize = e)
- 上下极限相等（上下极限可以直接取而不用证明极限存在）
- 夹逼定理 (+) 不等式
- 对于函数极限，想办法找到 (vert x - x_0 vert) 的结构，再把其他的部分放缩掉
需要养成的观点：解不等式时是有大量放缩的，不仅有对式子的放缩，还有对 (n,N) 的放缩，以及对 (varepsilon, M) 等等右边的东西的放缩
无穷小量无穷大量
有界变量 ( imes) 无穷小量 = 无穷小量
重点：例 (2.1.13) 见书
序列极限的性质
- 改变有限项不改变收敛情况
- 收敛序列有界
- 保序性：在 (n) 足够大时：数列大小可推极限大小（加等号）。（其中包括常数列）。在不等于极限值的情况下极限大小可推数列大小
- 夹逼定理
重要定理
两个常数
[egin{align}
&e\
sum_1^nfrac{1}{k} =& c + ln n + o(1)
end{align}
]
定理
单调收敛：上升有 (mathop{lim}limits_{n o infty} = sup{x_n})，下降有 (mathop{lim}limits_{n o infty} = inf{x_n})
闭区间套（常常与二分搭配证明，有限步与无限步为两种不同的情况）：闭区间，包含与无限短三个限定条件，唯一的一个 (c)
有限覆盖定理（连接局部与整体的桥梁）：开区间去覆盖闭区间,本质是缩减规模
聚点原理（对象为集合）：
- (x_0) 为 (E) 聚点
- 存在不相同的点构成趋近于 (x_0) 的子序列
- (x_0) 的任意去心领域都与 (E) 有交集（在 (x_0) 处有无限多项）
列紧性定理 ( extrm{Bolzano-Weierstrass}) ：
柯西收敛准则（判断极限存在）
*压缩映照原理
( extrm{Stolz})定理
上下极限（序列）
(mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x_n le mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} x_n)
等价命题：
- (h) 为上极限
- 所有收敛的子列的 (lim le h)
- (h) 既是 (x) 的极限，又是 (n o infty) 时一部分 (x) 的上界
定理
- 若序列 ({ x_n}) 有界且两两不同，则上极限为最大聚点，下极限为最小聚点
- 子列的上下极限被序列的上下极限包着
- 极限存在等价于上下极限相等（同时也等于极限）
性质
大部分与正常极限相同
两个不等式：两个下相加 (le) 和的下极限 (le) 一上一下 (le) 和的上极限 (le) 两个上相加（加、乘相同）
[mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x_n + mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} y_n
le mathop{underline{lim}}limits_{n o infty}(x_n + y_n) \
le mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x_n + mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} y_n \
le mathop{overline{lim}}limits_{n o infty}(x_n + y_n) \
le mathop{overline{lim}}limits_{n o infty}x_n + mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} y_n
ag{1}
]
[mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x_n cdot mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} y_n
le mathop{underline{lim}}limits_{n o infty}(x_n cdot y_n) \
le mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x_n cdot mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} y_n \
le mathop{overline{lim}}limits_{n o infty}(x_n cdot y_n) \
le mathop{overline{lim}}limits_{n o infty}x_n cdot mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} y_n
ag{2}
]
一个等式：
[mathop{overline{lim}}limits_{n o infty} frac{1}{x_n} = frac{1}{mathop{underline{lim}}limits_{n o infty} x} ag{3}
]