线性代数Linear-Algebra-2.5

一般线性空间

一、定义

• (n)维向量空间 : 非空集合(F^n={(a_1,a_2,cdots ,a_n)^T \,|;a_i in F,i=1,2,cdots,n})连同加法，数乘称为(F)上的(n)维空间，其中数乘所用(k in F)。
• 一般线性空间； 设 (U)为非空集合（其中的元素不一定是(n)维向量）取数域为(F)，

1. 定义加法运算：(forall alpha,etain U,alpha+etain U)；
2. 定义数乘运算：(forall k in F,alphain U,kalpha in U)；
3. 且满足八大算律：

   1. ((alpha+eta)+gamma=alpha+(eta+gamma))（加法结合律）
   2. (alpha+eta=eta+alpha)（加法交换律）
   3. (exist \,b, b+ alpha = alpha)（存在零元(b)）
   4. (exist\, gamma,gamma+alpha=0) (存在负元(gamma))
   5. (exist \,t,t cdot alpha = alpha)（存在一元(t)）
   6. ((lambdamu)alpha=lambda(mualpha))（数乘结合律）
   7. ((k+l)alpha=kalpha+lalpha)(数乘交换律1)
   8. (k(alpha+eta)=kalpha+keta)(数乘交换律2)

则称 (U) 为 (F) 上的线性空间
(large extrm{以上只有死记})

特点

• 一般线性空间的加法与数乘是抽象的，是自定义的。
• 一定要满足八大算律
• 在验证的时候完全按照定义的加法与数乘来。

二、简单性质

在线性空间里面元素统称为向量（元素是集合的概念）

1. (0)向量是唯一的（ (0_1 + 0_2 = 0_1) 而 (0_1+0_2=0_2) 故 (0_1=0_2) ）
2. 负向量也是唯一的（ (eta_1,eta_2) 都是 (alpha) 的负向量， (eta_1=eta_1+0=eta_1+(eta_2+alpha)=eta_2+(eta_1+alpha)=eta_2) ）
3. (kcdot0=0,quad0cdotalpha=0)
4. (kcdotalpha=0) 则 (k=0 ;or;alpha=0)
5. ((-1)cdotalpha = -alpha)

总结一下：两个唯一，两条零向量性质，一条负向量性质

命题

(F_F) 是 (F) 上的一维线性空间，任意非零向量都为基, (alpha=alphacdotalpha_1) （左边的 (alpha) 与右边的 (alpha_1) 都是集合 (U) 里的元素，而右边的 (alpha) 为数域 (F) 中的数）

(F) 表示集合为 (F) , (_F)表示取的数域为 (F) 。若 (alpha in U) ， (a in F) 则因为数乘封 闭， (eta=alphacdot a) 一定也在 (F) 中

三、其他特征（参数）

向量空间本质上是一种特殊的线性空间，故描述向量空间的量也可以描述线性空间，如

线性组合，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，维数，基 etc.