（1）(r(AB) leq min(r(A), r(B)))
证明：(r(AB) = dim C(AB))，(C(AB) subset C(A) Longrightarrow dim C(AB) leq dim C(A) = r(A))。则(r(AB) leq r(A))。同理，(r(B^TA^T) leq r(B^T) Longrightarrow r(AB) leq r(B))。
（2）(r(A) = r(A^T))
证明：将(A)经初等行变换为阶梯形矩阵(J)，从而(A)的行秩 = (J)的行秩 = (J)的列秩 = (A)的列秩。
（3）设(A, B)是(m imes n)的矩阵，(r(A + B) leq r(A) + r(B))
证明：设(A = (alpha_1 ,dots, alpha_n), B = (eta_1, dots, eta_n))，其中(alpha_i, eta_i)均为(m)维列向量，(i = 1, dots, n)。并设(r(A) = s, r(B) = t)。再设(alpha_1 ,dots, alpha_s)为(A)的一个极大无关组，(eta_1, dots, eta_t)为(B)的一个极大无关组。则
（4）(r(AA^T) = r(A))
证明：由于(r(AA^T) = r(A^TA))，因此证明(r(A^TA) = r(A))即可。我们只需要证明(Ax = 0)与(A^TAx = 0)同解。(Ax = 0)显然是(A^TAx = 0)的解；(A^TAx = 0 Rightarrow x^TA^TAx = 0 Rightarrow (Ax)^TAx = 0 Rightarrow Ax = 0)。因此两个方程同解。
（5）(r pmatrix{A & O \ O & B} = r(A) + r(B) leq rpmatrix{A & C \ O & B})
（6）设(A)为(s imes n)矩阵，(B)为(n imes m)矩阵，则有(r(A) + r(B) - n leq r(AB))
证明：由初等变换可得：
即：(pmatrix{E_n & B \ -A & E_s}pmatrix{E_n & B \ A & O}pmatrix{E_n & -B \ O & E_m} = pmatrix{E_n & O \ O & -AB})，则：(r(A) + r(B) leq rpmatrix{E_n & B \ A & O} = rpmatrix{E_n & O \ O & -AB} = n + r(AB))。移项可得：(r(A) + r(B) - n leq r(AB))
（7）设(A)为(n imes n)矩阵，若(A^2 = E)，那么有：(r(A + E) + r(A - E) = n)
证明：根据题意有((A + E)(A - E) = O)，由不等式（6）得：(r(A + E) + r(A - E) - n leq 0)，即：(r(A + E) + r(A - E) leq n)。因为(r(A - B) leq r(A) + r(B))，得：(r(A + E) + r(A - E) geq r([(A + E) - (A - E)]) = r(2E) = n)。原命题得证！
（8）设(A)为(n imes n)矩阵，且(A^2 = A)，那么有(r(A) + r(A - E) = n)
证明方法同上！