最大获利（最小割，最大权闭合图，最大密度子图）

题意

有(n)个中转站，费用为(P_i)。有(m)个用户群，第(i)个用户群可以连接第(A_i)和(B_i)个中转站，获利为(C_i)。

现在要建立一些中转站，求最大净收益（净收益 = 获利 - 花费）

思路

最大权闭合图

用户群有点权(C_i)，中转站有点权(-P_i)。用户群与可连接的中转站建立有向边。

我们选取若干用户群及其连接的中转站，我们可以很容易的发现这是一个闭合图。因为中转站没有出边，用户群指向的只有中转站，并且指向的中转站必选。

然后用最大权闭合图的套路即可解决问题。

最大密度子图

将用户群看作边，为连接(A_i)和(B_i)的无向边，边权为(C_i)。中转站具有点权(-P_i)

目标是最大化(sum_{e in E'} w_e + sum_{v in V'} p_v)，这对应与具有点权和边权的最大权闭合图问题中(lambda = 0)的情形。

因此建图的时候，点到汇点的边容量是(U - deg(v) - 2p_v)

代码

最大权闭合图

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 55010, M = (3 * 50000 + 5010) * 2, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) while(flow = find(S, inf)) res += flow;
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = n + m + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        add(m + i, T, x);
    }
    int tot = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        tot += c;
        add(i, m + a, inf);
        add(i, m + b, inf);
        add(S, i, c);
    }
    printf("%d
", tot - dinic());
    return 0;
}

最大密度子图

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 5010, M = (50000 + 2 * N) * 2, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
int dg[N], p[N];

void add(int a, int b, int c1, int c2)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c1, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = c2, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S = 0, T = n + 1;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &p[i]);
        p[i] *= -1;
    }
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c, c);
        dg[a] += c, dg[b] += c;
    }
    int u = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) u = max(u, dg[i] + 2 * p[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        add(S, i, u, 0);
        add(i, T, u - dg[i] - 2 * p[i], 0);
    }
    printf("%d
", (n * u - dinic()) / 2);
    return 0;
}