自从牛顿用物理的直觉，闯进无穷领域里大胆计算，铸造出犀利无比的分析工具后，许多人凭借着直观想象和聪明，也涌进去推导出许多互相冲突的结论，数学家花了两百多年的时间，才厘清了分析领域里的混乱，将整个数学建立在严格逻辑，而不是直观想象的基础上.
欧几里德几何一直是科学理论的范本，四条自明性的公理加上一条平行公设，通过逻辑演绎，推导出平面几何无穷数量的定理，一直到了近代还只有几何，被认为是具有坚实基础的数学分支，在这光辉的榜样下，人们尝试用这公理化的方法来规范整个数学，人们后来发现欧几里德也不够严谨，逻辑上的漏洞得以修补，但追到极致，要依赖于“数”的理论.
自然数的算术运算是数学的最基本的内容，自然数的性质曾经被中国先哲看成天道的机密，古希腊人作为宇宙的根本，在笛卡尔的哲学沉思里，认为我们无法判断自己是清醒还是幻觉.
1910-1913年，罗素和怀特海出版了三卷的<<数学原理>>，他们自信已将全部的数学建立在纯逻辑的基础上，为今后的所有数学打下了坚实的基础.
当时数学界领军人物希尔伯特，提出一个计划，根据<<数学原理>>的思想，将所有的数学形式化，称为形式公理系统，在这里用精确的形式符号语言来叙述数学命题，根据形式逻辑的规则来操作这些字符串的变换和生成，称之为“形式证明”.
这个系统如果有完备性，相容性，保守性和确定性，数学研究从此不再需要创造性的工作了，一切定理的发现和证明，归结为在这个形式公理系统下的机械运算.
这个形式公理系统计划，关键的一个环节是相容性的绝对证明，相容性指系统不能产生自相矛盾的结论，过去所有科学理论的相容性，实际上并没有得到过逻辑的证明，结论依赖于客观的经验来验证，客观的事实是确定的，不矛盾的，这保证了结论的相容性.
欧几里德几何虽然以公理化的方式，用逻辑推出所有的定理，它依赖这些公理是自明的，即符合直觉，也就是符合实际的空间经验，所以认为是真理，但这在逻辑上是不完全的，直觉只是经验的印象，怎么保证没有想象之外的事实?
希尔伯特用笛卡尔坐标的解析几何，将欧几里德几何的相容性，用代数系统的相容性来保证，但代数系统的相容性该怎么得到保证?这仍然没有得到最后的解决.
希尔伯特认为必须构建“绝对”的证明，即这个系统的相容性不再借助其他系统来保证，在抽去具体含义的形式化系统中，相信这个只包含逻辑结构和功能的系统，容易在一览无遗中寻找各个命题字符串之间的逻辑规律，而不需要依赖于不可靠的直觉和经验，从而来证明相容性，这个证明希望只用到有限次推理，每次只用到有限个数学的对象.
1931年，哥德尔发表了一篇论文，<<论数学原理及相关系统的不可判定命题>>，让这希尔伯特的计划成为泡影.
哥德尔根据<<数学原理>>构造出一个简单的包含着皮亚诺算术公理的形式演算系统，称之为PM，哥德尔定理有两个结论，这结论对任何包含有自然数加法和乘法的形式公理系统也成立：
1.PM如果是相容的则是不完备的.
2.PM不能证明自身的相容性.
相容的，或者译为“一致的”或者“自洽的”，意思是说在这个系统里不能推出互相矛盾的结论，因为，若有一对相反的命题(比如，a=b和a≠b)同时为真，那么由它们可以合乎逻辑地推出任何命题(为真)，所以数学系统只有是相容的才有价值，相容的系统里至少有一个命题不能被证明(为真).
完备性，指所有的真理(语义上为真的命题)，都能在这个系统里被形式证明(从系统里的定理或公理，按照形式逻辑的方法通过有限步骤推导出来).
这是数学里最具有革命性的定理，它告诉我们公理化固有的局限性，哥德尔虽然只证明了在那个包含有PA的简单PM系统，但是它适用于任何包含自然数加法和乘法的数学系统.
又有哪个足够大的数学系统不包括这算术运算?
哥德尔在琢磨这个提供了严谨的形式逻辑基础，将数学命题形式化的<<数学原理>>时，他发现了一个秘密，这形式逻辑的操作与算术运算极其相似，如果将形式符号的式子对应于一个自然数，那么形式逻辑的运算就对应于算术的运算，这系统用形式逻辑来描述算术，但算术也可以来描述形式逻辑的过程，它可以合法地自己来谈论自己，这让人想起“这句话是错的”这个古老的谎言悖论，那么，我们可以用<<数学原理>>的规则将“这个公式是不可证明的”，这个谈论数学公式的命题，形式化变成系统里的数学公式，造成一个恶性循环来摧毁这座精巧构建的纯洁的大厦.
哥德尔要在形式公理系统里，放进一个“自我纠缠”的魔鬼，用系统里的公式表达“这个公式是不可证明的”含义，构造一个不可判定的命题，如果他做到了，这系统若是相容的就是不完备的(这不难推出，读者可以想一想)，他的想法来自于法国数学家理查德1905年的语义悖论.
理查德悖论的一个变种是这样的：
用语言描述一类自然数的算术性质，模仿公理化的方法，从基本概念开始，依定义过的内容来描述新的定义，这些定义的内容总是用有限个字符来表达，比如说，定义了整数，乘除法后，定义“平方数是某个整数的自乘”，“质数是只能被1和自己整除的数”等等，把这些定义按描述句子的长短和字典顺序排列成一个表，这里每一个定义，在表中的序号是一个自然数，例如“质数是只能被1和自己整除的数”的序号是19，“平方数是某个整数的自乘”的序号是50，对照定义和它的序号，不外乎有两种情况：一类是这序号恰好符合定义的描述，例如序号19，它是质数，有定义的性质，另一类是这序号不具有定义性质的情况，例如，50不是平方数，没这性质，将这些不具有定义性质序号的数定义为“理查德数”，这样，50是理查德数，19则不是，理查德数是在这系统中有明确数学性质定义的一类自然数，它的定义也可以在这表中，假设它的定义对应着序号n，问：n是不是理查德数?论证一下，若n不符合它所对应的定义，按照理查德数定义的描述，n应该是理查德数，这是说n是符合理查德数定义了，即n符合它所标号的定义，这就和初始的假设矛盾了.
这个悖论说明，即使对自然数的算术性质，用任何语言，包括形式语言来定义，也可能发生矛盾，这悖论有些疵瑕，但即使这个表长有限，矛盾仍在，重点是它与1901年的罗素悖论有着相同的逻辑结构，而罗素悖论与谎言悖论都是因为自我纠缠惹得祸.
哥德尔有一套计算可形式化的“原始递归函数”理论，将元数学里的命题：“哥德尔数为x的公式序列，是哥德尔数为z公式的形式证明”，对应着算术计算，映射成PM里的公式，这个带有自然数变量x和z的公式简记为Dem(x, z).
哥德尔用Dem(x, z)，构造一个PM的公式G，它表达元数学的命题：公式G在PM内是不能被形式证明的.
在构造新公式前，还需要介绍一个关于哥德尔数的函数表达式，假如在哥德尔数为k的公式中，有个自然数变量y，哥德尔数是17，将自然数k的PM表达SSS…SSS0代入这公式中所有y变量出现的地方，这个新公式的哥德尔数记为sub(k, 17, k).
哥德尔努力显示这个置换操作是可计算的，sub(k,17, k)是原始递归函数，它对应的PM字符串的表达式，记为Sub(k, 17, k)，比如说k对应的公式是?x(x=Sy)，代入后的新公式Sub(k, 17, k)是?x(x=SSSS...SSS0)，这里SSSS...SSS有k+1个S，他的哥德尔数是sub(k, 17, k).
在Dem(x, z)前加一个存在的量词(?x)Dem(x, z)，对应着元数学里：存在着一个x，它是z的证明，简言之，z是可证的，其否定式~(?x)Dem(x, z)对应着z是不可证的.
将哥德尔数函数sub(y, 17, y)代入~(?x)Dem(x, z)中的z，有：
公式1： ~(?x)Dem(x, Sub(y, 17, y))
这PM公式直接的含义是数学命题：不存在着一个哥德尔数x，它满足dem(x, sub(y, 17,y))的算术关系，他对应着元数学里的命题：哥德尔数为sub(y, 17,y)的公式是不可证的.
设公式1所对应的哥德尔数是n，这是一个确定的自然数，将它代入公式1的变量y，便有
公式G： ~(?x)Dem(x, Sub(n,17, n))
记哥德尔数g = sub(n, 17,n)，这也是一个确定的自然数，公式G对应着元数学里的命题：哥德尔数为g的公式是不可证明.
这g对应着哪个公式?
sub(n,17,n)是置换操作后新公式的哥德尔数，这新公式是将哥德尔数为n的公式，即公式1里的变量y用n代入，这正是公式G，公式G的哥德尔数是g.
因此，公式G对应着元数学里的命题：公式G是不可证明的，公式～G，即：(?x)Dem(x, Sub(n,17, n))则对应着元数学里的命题：公式G是可证明的.
我们已经把自我纠缠镶进了公式G，嘘一口气，慢慢消化这个公式和对应的含义，然后往下看这证明的辩驳，如果细心推敲，你可能会有些疑惑，这很正常，需要慢慢消化，哥德尔的证明手法很不寻常，当大数学家冯·诺依曼得知哥德尔证明时大为赞赏，细究之后，两次宣布找出了证明中的错误，后来他又两次修正了自己的错误，他惭愧地看到自己由这个插曲，轻易地改变了关于数学绝对真理的看法，而且相继改变了三次.
哥德尔用反证法证明在PM里，公式G是不可判定的，假如公式G可证，这件事的元数学陈述是：公式G是可证明的，~G对应的正是这句话，说明它是可证的，反过来，假如~G是定理，这公式对应的元数学命题“公式G是可证明的”为真，这元数学的判断是：PM里可以证明公式G，即公式G是定理，因此，公式G是定理，当且仅当公式~G是定理.
PM是相容时，这种情况是不允许的，所以上述导致矛盾的假设都不成立，G和~G在PM里都不可证，也就是不可判定的.
G是不可证明的事实，说明元数学描写G的命题是真理，它对应着这公式G的含义为真，PM里一个表达真理的公式G，不能在PM里被证明，说明PM是不完备的，这在元数学里就证明了.
下面证明：相容性是不可能在PM里证明的
回顾一下“相容性”的含义，它说系统里一个命题和它的否定不能同时是定理，这是数学系统无矛盾性的要求，如果不是这样，在系统里就可以证明任何的命题成立，所以“相容性”等价于，系统存在着一个命题，它是不可证明的.
证明：
我们构造一个新的公式：A (?z)~(?x)Dem(x, z)
这个公式对应着元数学的直接解读是，存在着一个公式z，不存在着公式序列x是它的证明，即，有一个公式，它是不可证明的，即，PM是相容的.
公式G是否也有类似的解读呢?它的直接元数学的解读是：公式G是不可证明的，我们已经从元数学证明：命题G是真的，它是真的又不能在PM里证明，这正是“PM是不完备的”的意思，所以，公式G的另一个解读是：PM是不完备的.
元数学里的定理说：如果PM是相容的，则PM是不完备的，对应着PM里的公式：
(?z)~(?x)Dem(x, z) ->~(?x)Dem(x, Sub(n, 17, n))
也就是说，如果我们能够在PM里证明它是相容的，(?z)~(?x)Dem(x, z)公式为真，按照上式和PM里三段论推理的分离规则，推出~(?x)Dem(x, Sub(n,17, n))为真，即在PM里证明了公式G，这与公式G在PM里是不可证的事实相矛盾，所以公式A不能在PM里被证明.
下面证明：PM不能证明自身的相容性
这里沿用了PM公式与元数学对应关系的简化证明思路，如果PM是ω-相容的，则是不完备的.
ω-相容的的定义是，对于算术谓词P，(?x)P(x)和每一个自然数k的~P(k)不能同时为真，而相容的则是，对于任何命题p和~p不能同时为真，ω-相容的是个较强的要求，它能够推出相容的条件，ω-相容的的定义里~(?x)P(x)和每一个自然数k ~P(k)在语义理解上是同一回事，但在形式系统里，因为没有一个能处理无限的规则(希尔伯特计划中有限主义的限制)，所以，不能把他们看成是一样的.
证明:
假设G可证，这说明有个PM公式序列是G的证明，设这个公式序列的哥德尔数为k，这元数学命题对应着数论命题dem(k, g)，已知g = sub(n, 17, n)，所以有dem(k, sub(n, 17, n))，他陈述了一个算术的事实，表示为PM的公式Dem(k, sub(n, 17, n))，这说明它是PM里的定理，有一个具体的数k满足这关系，逻辑上说明存在着一个数x满足这关系，也就是(?x)Dem(x, sub(n,17, n))能够被证明，这公式是~G，这说明从G可证，可以推出它否定形式~G也可证，从而，如果PM是相容的，G在PM里不可证.
假设~G在PM里可证，如果G不可证，也就是对于所有的k，dem(k, g)都不是事实的，即~dem(k,sub(n, 17, n))都是真的，所以，~Dem(k, Sub(n, 17, n))对每一个的自然数k都是个定理，~G可证意味着(?x)Dem(x, Sub(n, 17, n))是PM里的定理，如果PM是ω-相容的，这是不可能的，从而，如果PM是ω-相容的，~G在PM里不可证.
因此，如果PM是ω-相容的，G是不可判定的，不可判定的命题，根据排中律，G和~G必有一真，但在PM里都不能证明它们，所以PM是不完备的.