线代再 (OI) 这块主要是行列式（别的我也没见过
- 一.行列式
1.定义
行列式是数学中的一个函数，是将 (n imes n) 的矩阵 (A) 映射为一个标量，记作 (det(A)/|A|)一个 (n) 阶行列式直观定义如下：(det(A)=sumlimits_{sigma}sgn(sigma)prodlimits_{i=1}^na_{i,sigma(i)})
(sigma) 代表一个 ({1,2...n}) 的排列，(sgn(sigma)) 表示 ((-1)^{sigma 中逆序对个数 +1})
2.性质
1.当有一行 (/) 列的值全为 (0) 时 (det(A)=0)
2.若某一行有公因子 (k)，可直接提出
3.在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式
4.行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号
5.在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0
6.将一行（列）的 (k) 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变
注意：一行（列）的 (k) 倍加上另一行（列），行列式的值改变
7.矩阵转置后行列式的值不变
8.行列式的乘法定理：(det(AB)=det(A)det(B))
特别的，(det(rA)=det(rI_nA)=det(rIn)det(A)=r^ndet(A))
对乘法公式进行扩展，可以得到所谓 柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果
例如，对于 (n imes m) 的矩阵 (A) 和 (m imes n) 的矩阵 (B)，设 (S) 为从 ({1,2...n}) 中选出 (m) 个元素的子集
则有 (det(AB)=sumlimits_{S}det(A_s)det(B_s))(如果 (n<m) 则规定 (det(AB)=0))
8.若 (A) 为可逆矩阵，则 (det(A^{-1})=det(A)^{-1})
行列式的展开
1.余子式
(M_{i,j}) 为矩阵 (A) 去掉 (i) 行 (j) 列之后的行列式
2.代数余子式
(M) 关于 (M_{i,j}) 的代数余子式定义为 (C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j})
3.拉普拉斯展开
(det(M)=sumlimits_{i=1}^nm_{i,j}C_{i,j}=sumlimits_{j=1}^nm_{i,j}C_{i,j})
