一.定义
- **群**群是啥？？？我不会啊
- 置换((g))
一个置换是一种运算，代表让物体交换位置的一种方法
- 置换群((G))
顾名思义，由置换构成的群
- k不动置换类((Z_k))(稳定化子)
使元素 (k) 不改变位置的群的集合
- 等价类((E_k))(轨道)
在置换群 (G) 作用下元素 (k) 的运动轨迹(一些点的集合)
- 循环((h_g))
在置换 (g) 作用下产生的循环
- 轨道-稳定化子定理
[|E_k| imes|Z_k|=|G|
]
证明：不会
- burnside引理
[L=frac{1}{|G|}sum c_i(c_i表示在置换i下不变的元素个数)
]
由轨道-稳定化子定理可知，|G|可以表示一个等价类中所有元素的 (Z_k) 之和
则有$$L imes|G|=sum_{i=1}^n|Z_i|$$
而根据定义，我们有$$sum_{i=1}^n|Z_i|=sum_{k=1}^{|G|}c_i$$
则$$L=frac{1}{|G|}sum c_i$$
- polya定理
[L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}m^{h_i}(m为颜色数)
]
只适用于对颜色没有位置限制的情况
可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 (burnside) 引理是一样的
二.例题
- 1.大部分置换群的题都是套着 (burnside) 皮的 (dp),这里不加赘述
[bzoj1851]color有色图
题意描述：一张n个节点的完全图，用m种颜色给边染色，对于点编号的交换同构，问有多少种不同的染色方案
查姆讲的太好啦群论之神的博客