bzoj 2876: [Noi2012]骑行川藏拉格朗日数乘

2876: [Noi2012]骑行川藏

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Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑 N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【样例说明】一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

　　拉格朗日数乘，这种东西虽然复杂，但是写一遍就会了。

　　魔性的二分解三次方程，和各种偏导。

　　如果不是张老师开的大坑，估计近期还不知道这是啥东西。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long double real;
const real eps = 1e-10;
#define MAXN 10010
#define PROB "give"
real ss[MAXN],kk[MAXN],vv[MAXN];
real xx[MAXN];
real work(real a,real b)
{
        real l=-a;
        real r=1e3;
        while (l+eps<r)
        {
                real mid=(l+r)/2.0;
                if (mid*mid*mid+mid*mid*a<b)
                        l=mid;
                else
                        r=mid;
        }
        return r;
}

int main()
{
        freopen(PROB".in","r",stdin);
        freopen(PROB".out","w",stdout);
        int n;
        real e;
        int x,y,z;
        double a0;
        scanf("%d%lf",&n,&a0);
        e=a0;
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
                double a1,a2,a3;
                scanf("%lf%lf%lf",&a1,&a2,&a3);
                ss[i]=a1;
                kk[i]=a2;
                vv[i]=a3;
        }
        real l=0,r=1e10;
        real s,s2;
        while (l+eps<r)
        {
                real mid=(l+r)/2.0;
                s=0;
                s2=0;
                for (int i=0;i<n;i++)
                {
                        xx[i]=work(-vv[i],mid/2/kk[i]);
                        s+=kk[i]*ss[i]*(vv[i]*vv[i]+xx[i]*xx[i]-2*xx[i]*vv[i]);
                        s2+=ss[i]/xx[i];
                }
                if (s<e)
                        l=mid;
                else
                        r=mid;
        }
        //printf("%.5lf
",(double)l);
        printf("%.6lf
",(double)s2);
}