康托展开
康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
康托展开的C#代码如下：
// 返回s的康托展开值static long X(string[] s){ long result = 0; int len = s.Length; for (int i = 0; i < len; i++) { result += An(s, i) * Factorial(len - i - 1); } return result;}// 返回 s[n] 是 s[n..length] 中第几大的元素static int An(string[] s, int n){ int result = 0; for (int i = n + 1; i < s.Length; i++) { if (s[n].CompareTo(s[i]) >= 0) result++; } return result;}// 返回 input 的阶乘static int Factorial(int input){ int result = 1; for (int i = 2; i <= input; i++) { result = result * i; } return result;} |
测试一下：
string[] s = new string[] { "A", "B", "C" };foreach (string[] p in Permutation2(s)){ Console.WriteLine(p.Montage(t => t, " ") + " | " + X(p).ToString());} |
Permutation2() 和 Montage() 函数请参考上一篇。测试输出如下：
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：
知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回 s 的第 m 个排列。
// 返回 s 的第 m 个排列（m 从 0 开始）。要求 s 是升序排列的static string[] Permutation3(string[] s, int m){ IList<string> sub = new List<string>(s); IList<string> result = new List<string>(); for (int i = s.Length - 1; i >= 0; i--) { int f = Factorial(i); int ai = m / f; string item = sub[ai]; // 由于数组是升序排列的，所以第 ai 大的元素就是 sub[ai] result.Add(item); sub.RemoveAt(ai); m = m % f; } return result.ToArray();} |
测试一下：
string[] s = new string[] { "A", "B", "C", "D" };for (int i = 0; i < Factorial(s.Length); i++){ string[] s1 = Permutation3(s, i); Console.WriteLine(s1.Montage(t => t, " "));} |
附录 康托展开是怎么来的？
很显然，康托展开是本文的关键所在。你说康托他老人家当初是怎么想出来这种展开的方法的呢？我们还是以 s=["A", "B", "C"] 为例：
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
他的思路可能是这样的：首先，确定一个目标：将每个排列映射为一个自然数，这个自然数是顺序增长的（或者至少要有一定的规律）。要说映射成自然数，第一个想到的方法自然是把数组的下标当作一个n进制的数字，但是正如本文开篇所讨论的，这个数字并没有什么规律；第二个方法是计数，也就是令 X = 当前排列之前有多少个排列。例如 A B C 是第一个排列，它前面没有任何排列，所以 X(ABC) = 0；A C B 前面有一个排列，所以 X(ACB) = 1……那么如何才能知道 X(BCA) = 3 也就是 B C A 的前面有3个排列呢？这里的技巧仍然是分解——把问题分隔成相互独立的有限的小块。具体的方法是：先求出 B 第一次出现在最高位（也就是 B A C 这个排列）时前面有几个排列，再求出 B C A 是 B A C 后面第几个排列，把这个两个数相加就是想要的结果了。
先看第一个问题：B 第一次出现在最高位（也就是 B A C 这个排列）时前面有几个排列？由于已知 B A C 前面的排列一定是 A 开头的，所以只有 A 后面的两个元素可以变化，所以排列数是 P(2,2) = 2! 个。
第二个问题：B C A 是 B A C 后面第几个排列？因为都是 B 开头的，所以可以把开头的 B 忽略，问题变成 C A 是 A C 后面的第几个排列？同样，可以先考虑 C 第一次出现在最高位时前面有几个排列，因为 C A 前面的排列肯定是 A 开头的，所以只有 A 后面的一个元素可以变化，所以排列数是 P(1,1) = 1! 个。
所以 X(BCA) = 2! + 1! = 3
再例如想求 X(CBA)，同样是先考虑 C 第一次出现在最高位时前面有多少个排列，因为比 C 小的元素有 A 和 B 两个，所以是 2*2! 个。再求出 B A 是 A B 后面的第 1! 个排列。就可以知道 X(CBA) = 2*2! + 1! = 5 了。