MC, MCMC, Gibbs採样原理&实现（in R）

本文用讲一下指定分布的随机抽样方法：MC(Monte Carlo), MC(Markov Chain), MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的基本原理，并用R语言实现了几个样例：

1. Markov Chain （马尔科夫链）

2. Random Walk（随机游走）

3. MCMC详细方法：

3.1 M-H法

3.2 Gibbs採样

PS：本篇blog为ese机器学习短期班參考资料（20140516课程），课上讲详述。

以下三节分别就前面几点简要介绍基本概念，并附上代码。这里的概念我会用最最naive的话去概括，详细内容就看我最下方推荐的链接吧(*^__^*)

0. MC(Monte Carlo)

生成指定分布的随机数的抽样。

1. Markov Chain （马尔科夫链）

如果 f(t) 是一个时间序列，Markov Chain是如果f(t+1)仅仅与f(t)有关的随机过程。

Implement in R:

#author: rachel @ ZJU
#email: zrqjennifer@gmail.com

N = 10000
signal = vector(length = N)
signal[1] = 0
for (i in 2:N)
{
	# random select one offset (from [-1,1]) to signal[i-1]
	signal[i] = signal[i-1] + sample(c(-1,1),1) 
}

plot( signal,type = 'l',col = 'red')

2. Random Walk（随机游走）

如布朗运动，仅仅是上面Markov Chain的二维拓展版：

Implement in R:

#author: rachel @ ZJU
#email: zrqjennifer@gmail.com

N = 100
x = vector(length = N)
y = vector(length = N)
x[1] = 0
y[1] = 0
for (i in 2:N)
{
	x[i] = x[i-1] + rnorm(1)
	y[i] = y[i-1] + rnorm(1)
}


plot(x,y,type = 'l', col='red')

3. MCMC详细方法：

MCMC方法最早由Metropolis（1954）给出，后来Metropolis的算法由Hastings改进，合称为M-H算法。M-H算法是MCMC的基础方法。由M-H算法演化出了很多新的抽样方法，包含眼下在MCMC中最经常使用的Gibbs抽样也能够看做M-H算法的一个特例[2]。

概括起来，MCMC基于这种理论，在满足【平衡方程】（detailed balance equation）条件下，MCMC能够通过非常长的状态转移到达稳态。

【平衡方程】：

pi(x) * P(y|x) = pi(y) * P(x|y)

当中pi指分布，P指概率。这个平衡方程也就是表示条件概率（转化概率）与分布乘积的均衡.

3.1 M-H法

1. 构造目标分布，初始化x0

2. 在第n步，从q(y|x_n) 生成新状态y

3. 以一定概率（(pi(y) * P(x_n|y)) / (pi(x) * P(y|x_n))）接受y <PS: 看看上面的平衡方程，这个概率表示什么呢？參考这里和[1]>

implementation in R:

#author: rachel @ ZJU
#email: zrqjennifer@gmail.com

N = 10000
x = vector(length = N)
x[1] = 0

# uniform variable: u
u = runif(N)
m_sd = 5
freedom = 5

for (i in 2:N)
{
	y = rnorm(1,mean = x[i-1],sd = m_sd)
	print(y)
	y = rt(1,df = freedom)
	
	p_accept = dnorm(x[i-1],mean = y,sd = abs(2*y+1)) / dnorm(y, mean = x[i-1],sd = abs(2*x[i-1]+1))
	#print (p_accept)
	
	
	if ((u[i] <= p_accept))
	{
		x[i] = y
		print("accept")
	}
	else
	{
		x[i] = x[i-1]
		print("reject")
	}
}

plot(x,type = 'l')
dev.new()
hist(x)

3.2 Gibbs採样

第n次，Draw $heta_i^{n+1}$ from $pi( heta_i | heta_1^n, heta_2^n, ... heta_p^n \,\,without\,\, heta_i^n)$ ，迭代採样结果接近真实p( heta_1, heta_2, ...)

也就是每一次都是固定其它參数，对一个參数进行採样。比方对于二元正态分布，其两个分量的一元条件分布仍满足正态分布：

$f(x|y) sim N(mu_1+ ho sigma_1/sigma_2(y-mu_2),\,\,(1- ho^2)sigma_1^2)$

$f(y|x) sim N(mu_2+ ho sigma_2/sigma_1(x-mu_1),\,\,(1- ho^2)sigma_2^2)$

那么在Gibbs採样中对其迭代採样的过程，实现例如以下：

#author: rachel @ ZJU
#email: zrqjennifer@gmail.com
#define Gauss Posterior Distribution

p_ygivenx <- function(x,m1,m2,s1,s2)
{
	return (rnorm(1,m2+rho*s2/s1*(x-m1),sqrt(1-rho^2)*s2 ))
}

p_xgiveny <- function(y,m1,m2,s1,s2)
{
	return 	(rnorm(1,m1+rho*s1/s2*(y-m2),sqrt(1-rho^2)*s1 ))
}


N = 5000
K = 20 #iteration in each sampling
x_res = vector(length = N)
y_res = vector(length = N)
m1 = 10; m2 = -5; s1 = 5; s2 = 2
rho = 0.5
y = m2

for (i in 1:N)
{
	x = p_xgiveny(y, m1,m2,s1,s2)
	y = p_ygivenx(x, m1,m2,s1,s2)
	# print(x)
	x_res[i] = x;
	y_res[i] = y;
}

hist(x_res,freq = 1)
dev.new()
plot(x_res,y_res)
library(MASS)
valid_range = seq(from = N/2, to = N, by = 1)
MVN.kdensity <- kde2d(x_res[valid_range], y_res[valid_range], h = 10) #预计核密度
plot(x_res[valid_range], y_res[valid_range], col = "blue", xlab = "x", ylab = "y") 
contour(MVN.kdensity, add = TRUE)#二元正态分布等高线图

#real distribution
# real = mvrnorm(N,c(m1,m2),diag(c(s1,s2)))
# dev.new()
# plot(real[1:N,1],real[1:N,2])

x分布图：

(x,y)分布图：

Reference:

1. http://www2.isye.gatech.edu/~brani/isyebayes/bank/handout10.pdf

2. http://site.douban.com/182577/widget/notes/10567181/note/292072927/

3. book: http://statweb.stanford.edu/~owen/mc/

4. Classic： http://cis.temple.edu/~latecki/Courses/RobotFall07/PapersFall07/andrieu03introduction.pdf

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