(联赛一试2006,14)．将2006表示成5个正整数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$之和．记$S=sumlimits_{1le i<jle5}{x_ix_j}$问：
(1) 当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值时，S取到最大值；
(2) 进一步地，对任意$1le i,jle 5$有$|x_i-x_j|le 2,$当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值
时,S取到最小值. 说明理由．
分析:
第一问这里需要说明取到最大值时$|x_i-x_j|le1$,
假如存在$|x_i-x_j|ge2$不妨设$|x_1-x_2|ge2,x_1le x_2$,令$x'_1=x_1+1,x'_2=x_2-1,x'_i=x_i,(i=3,4,5)$,
注意到:
$sumlimits_{1le i<jle5}{x_ix_j}=dfrac{sumlimits_{i=1}^{5}{x_i}^2-sumlimits_{i=1}^{5}{x^2_i}}{2}$
则$S'-S=dfrac{x^2_1+x^2_2-x_1'^2-x_2'^2}{2}=x_2-x_1+1ge3$所以取到最大值时$|x_i-x_j|le1$,
故容易得到取$401,401,401,401,402$时候S最大.第二小问可以在第一小问基础上调整.