(北大自招）已知$-6le x_ile 10 (i=1,2,cdots,10),sumlimits_{i=1}^{10}x_i=50,$当$sumlimits_{i=1}^{10}x^2_i$取到最大值时,在$x_1,cdots ,x_{10}$这十个数中等于$-6$的数共有______
提示:注意到:$ale ble cle d$且$a+d=b+c$时,$a^2+d^2-(b^2+c^2)=(d-c)(d+c-a-b)ge0$故$x_i$中最多一个属于$(-6,10)$,不妨该数记为a,设有$k$的-6,则$-6k+(9-k)10+a=50,$易得$k=3$
或者用反证法说明:
假设当$sumlimits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时，在$x_i$中存在两个数$x_i,x_jin(-6,10),x_ileqslant x_j$，则令$x=min{10-x_j,x_i+6}$，则$x>0$，且$x_i-xgeqslant -6,x_j+xleqslant 10$，且有$$(x_i-x)^2+(x_j+x)^2=x_i^2+x_j^2+2x^2+2x(x_j-x_i)>x_i^2+x_j^2,$$矛盾，所以$x_i,i=1,2,cdots,10$中至多只有一个数不等于$-6$或$10$．
假设其中有$k$个$-6$，则有$9-k$个$10$，剩下的一个数为$$50-(-6)k-10(9-k)=16k-40in(-6,10),$$解得$k=3$
注：这里其实有一个重要定理
