(2018武汉大学自招)设$x,y,zge0,xy+yz+zx=1$证明:$dfrac{1}{x+y}+dfrac{1}{y+z}+dfrac{1}{z+x}ge dfrac{5}{2}$
证明:
egin{align*}
extbf{原式} & iff 2sum{(y+z)(z+x)}-5prod(x+y)ge0\
& iff 2sum{z^2+(x+y)z+xy}-5left((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz
ight)ge0\
& iff 2(x+y+z)^2+2-5(x+y+z)+5xyzge0
end{align*}
记$a=x+y+z,b=xy+yz+zx,c=xyz$则只需证明:$2a^2-5a+5c+2ge0$
若$a>2$则$2a^2-5a+5c+2ge2a^2-5a+2=(2a-1)(a-2)ge0$成立
若$ale2$则由舒尔不等式:
$sum{x(x-y)(x-z)=(sum x)^3-4sum{x}sum{xy}+9xyz=a^3-4ab+9c=a^3-4a+9cge0}$ 得
$cgedfrac{-a^3+4a}{9}$
故$2a^2-5a+5c+2gedfrac{-5a^3+18a^2-25a+18}{9}ge0$(由单调递减易得)当$(x,y,z)=(1,1,0)$时取到等号.
事实上还有如下天书上的证明:
（Chen Ji )
事实上还可证明最大值:
$x,y,zge0,xy+yz+zx=1$时$dfrac{1}{x+y}+dfrac{1}{y+z}+dfrac{1}{z+x}lesqrt{dfrac{27}{4}}$
提示:利用均值:$dfrac{1}{x+y}+dfrac{1}{y+z}+dfrac{1}{z+x}lesqrt{3sumdfrac{1}{(x+y)^2}}lesqrt{dfrac{27}{4}}$
最后一步是著名的伊朗96不等式.
最后给一个利用上面方法的练习:(2011年全国联赛B卷二试第三题）
已知$a,b,cge1$且满足:$abc+2a^2+2b^2+2c^2+ca-cb-4a+4b-c=28,$求$a+b+c$的最大值.