(2016年清华大学自主招生暨领军计划试题)
已知$x,y,zin mathbf{R}$，满足$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$，则下列结论正确的有（ ）
A．$xyz$的最大值为$0$
B．$xyz$的最小值为$-dfrac{4}{27}$
C．$z$的最大值为$dfrac{2}{3}$
D．$z$的最小值为$-dfrac{1}{3}$
答案:A.B.D
由$x+y+z=1, x^2+y^2+z^2=1$，可知$xy+yz+zx=0$．设$xyz=c$，则$x,y,z$是关于$t$的方程$$t^3-t^2-c=0$$的三个实根．
令$f(t)=t^3-t^2-c$，利用导数可得$$egin{cases}fleft(0 ight)=-cgeqslant 0,\fleft(dfrac{2}{3} ight)=-dfrac{4}{27}-cleqslant 0,end{cases}$$
所以$-dfrac{4}{27}leqslant c=xyz leqslant 0$，等号显然可以取到．
故选项A，B都对．
因为$$(x+y)^2=(1-z)^2leqslant 2left(x^2+y^2 ight)=2left(1-z^2 ight),$$所以$-dfrac{1}{3}leqslant z leqslant 1$，等号显然可以取到．
故选项C错，选项D对