MT【182】系数奇怪的二次函数

设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,bin R$
证明:当$0le xle 1$时,$|f(x)|le max{f(0),f(1)}$

分析:由$a>0$知道$max{f(0),f(1)}=max{|f(0)|,|f(1)|}$
则egin{align*}
|f(x)| & le |(3x^2-4x+1)f(0)+(3x^2-2x)f(1)| \
&le(|3x^2-4x+1|+|3x^2-2x|)max{|f(0)|,|f(1)|}\
&= max{|6x^2-6x+1|,|-2x+1|}max{|f(0)|,|f(1)|}\
&lemax{|f(0)|,|f(1)|}
end{align*}

注:奇怪的系数如果结合定积分在几何上是显然的。

练习:

(2012浙江压轴题)
已知$a>0,bin R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.
1)证明:当$0le xle 1$时,
i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$
ii)$f(x)+|2a-b|+age0$
2)若$-1le f(x)le 1$对$xin[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围.