已知函数$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$,对任意$k>0$,直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点,求$a$的取值范围.
分析:$f^{"}(x)=-6x+18$,如图,$f(x)$在$(-infty,3)$下凸,$(3,+infty)$上凸.拐点$P(3,f(3))$处的切线方程为$y=x$.
$f(x)$的极大值为$M(3+dfrac{sqrt{3}}{3},3+dfrac{2sqrt{3}}{9})$,记$Q(0,a)$ 由图可知
1)$age3+dfrac{2sqrt{3}}{9}$时$y=kx+a$与$y=f(x)$图像只有唯一一个公共点.
2)$ain[3,3+dfrac{2sqrt{3}}{9})$时,由于$k>0$故有三个公共点.
3)$ain(0,3)$时,有三个公共点.
4)$ain(-infty,0]$时,
若$kin(0,k_{PQ})$,直线与曲线上凸部分有唯一公共点;
若$k=k_{PQ}$直线与曲线有唯一公共点$P$;
若$kin(k_{PQ},+infty)$,直线与曲线下凸部分有唯一公共点.
综上,$ain(-infty,0]cup[3+dfrac{2sqrt{3}}{9},+infty) $