已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=min{a,b,c}$求$t$的最大值.
分析:由$a,c$的对称性,不妨$cge a$即$2a+ble1$则$t=min{a,b}$.
由$b^2ge4ac$得$(2a+b)^2ge4a $,由于求$t$的最大值,只需考虑$a,b>0$(不然则$t=min{a,b}le0$)
此时由$(2a+b)^2ge4a $得$1ge4t$故$tledfrac{1}{4},$当$a=dfrac{1}{4},b=dfrac{1}{2},c=dfrac{1}{4}$时取到最值.
另外证明:不妨$a,b,c>0$注意到$dfrac{a+b+c}{4}gesqrt[4]{a(frac{b}{2})^2c}ge sqrt[4]{a^2c^2}gemin{a,b,c}$
故$tle1$
练习:
已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=max{a,b,c}$求$t$的最小值.
答案:$dfrac{4}{9}$