已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$min{a,b,c}ledfrac{a+b+c}{4}$
证明:$min{a,b,c}=dfrac{a+c-|a-c|+2b-|a+c-|a-c|-2b|}{4}ledfrac{a+b+c}{4}$
等价于$|a-c|+|a+c-|a-c|-2b|ge b$
等价于$max{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|}ge b$
$ecause max{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|}ge|2b+|a-c|-(a+c)|=|b+b-(a+c-|a-c|)|ge b$
最后一步是由于
$b^2ge 4ac=(a+c)^2-(a-c)^2ge(a+c)^2+(a-c)^2-2|a+c||a-c|=(|a-c|-(a+c))^2$
得证.
注:另外证明:$dfrac{a+b+c}{4}gesqrt[4]{a(frac{b}{2})^2c}ge sqrt[4]{a^2c^2}gemin{a,b,c}$