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损失函数的一般表示为(L(y,f(x)))，用以衡量真实值(y)和预测值(f(x))之间不一致的程度，一般越小越好。为了便于不同损失函数的比较，常将其表示为单变量的函数，在回归问题中这个变量为(y-f(x))，在分类问题中则为(yf(x))。下面分别进行讨论。
回归问题的损失函数
回归问题中(y)和(f(x))皆为实数(in R)，因此用残差 (y-f(x))来度量二者的不一致程度。残差 (的绝对值) 越大，则损失函数越大，学习出来的模型效果就越差（这里不考虑正则化问题）。
常见的回归损失函数有：
- 平方损失 (squared loss) ： ((y-f(x))^2)
- 绝对值 (absolute loss) : (|y-f(x)|)
- Huber损失 (huber loss) : (left{egin{matrix}frac12[y-f(x)]^2 & qquad |y-f(x)| leq delta \ delta|y-f(x)| - frac12delta^2 & qquad |y-f(x)| > deltaend{matrix} ight.)
其中最常用的是平方损失，然而其缺点是对于异常点会施以较大的惩罚，因而不够robust。如果有较多异常点，则绝对值损失表现较好，但绝对值损失的缺点是在$y-f(x)=0$处不连续可导，因而不容易优化。
Huber损失是对二者的综合，当$|y-f(x)|$小于一个事先指定的值$delta$时，变为平方损失，大于$delta$时，则变成类似于绝对值损失，因此也是比较robust的损失函数。三者的图形比较如下：
分类问题的损失函数
对于二分类问题，(yin left{-1,+1 ight})，损失函数常表示为关于(yf(x))的单调递减形式。如下图：
(yf(x))被称为margin，其作用类似于回归问题中的残差 (y-f(x))。
二分类问题中的分类规则通常为 ( ext{sign}(f(x)) = left{egin{matrix} +1 qquad ext{if};;yf(x) geq 0 \ -1 qquad ext{if} ;; yf(x) < 0end{matrix}
ight.)
可以看到如果 (yf(x) > 0)，则样本分类正确，(yf(x) < 0) 则分类错误，而相应的分类决策边界即为 (f(x) = 0)。所以最小化损失函数也可以看作是最大化 margin 的过程，任何合格的分类损失函数都应该对 margin<0 的样本施以较大的惩罚。
1、 0-1损失 (zero-one loss)
0-1损失对每个错分类点都施以相同的惩罚，这样那些“错的离谱“ (即 (margin ightarrow -infty))的点并不会收到大的关注，这在直觉上不是很合适。另外0-1损失不连续、非凸，优化困难，因而常使用其他的代理损失函数进行优化。
2、Logistic loss
logistic Loss为Logistic Regression中使用的损失函数，下面做一下简单证明：
Logistic Regression中使用了Sigmoid函数表示预测概率：$$g(f(x)) = P(y=1|x) = frac{1}{1+e^{-f(x)}}$$
而$$P(y=-1|x) = 1-P(y=1|x) = 1-frac{1}{1+e^{-f(x)}} = frac{1}{1+e^{f(x)}} = g(-f(x))$$
因此利用(yinleft{-1,+1 ight})，可写为(P(y|x) = frac{1}{1+e^{-yf(x)}})，此为一个概率模型，利用极大似然的思想：
$$max left(prodlimits_{i=1}^m P(y_i|x_i) ight) = max left(prodlimits_{i=1}^m frac{1}{1+e^{-y_if(x_i)}} ight)$$
两边取对数，又因为是求损失函数，则将极大转为极小：
这样就得到了logistic loss。
如果定义(t = frac{y+1}2 in left{0,1 ight})，则极大似然法可写为：
取对数并转为极小得：
上式被称为交叉熵损失 (cross entropy loss)，可以看到在二分类问题中logistic loss和交叉熵损失是等价的，二者区别只是标签y的定义不同。
3、Hinge loss
hinge loss为svm中使用的损失函数，hinge loss使得(yf(x)>1)的样本损失皆为0，由此带来了稀疏解，使得svm仅通过少量的支持向量就能确定最终超平面。
hinge loss被翻译为“合页损失”，那么合页究竟长啥样？如图，确实有点像hinge loss的形状：
来看下 hinge loss 是如何推导出来的，带软间隔的svm最后的优化问题可表示为：
((2)) 式重新整理为 $ xi_i geqslant 1 - y_i(oldsymbol{w}^Toldsymbol{x}_i + b)$ 。若 (1 - y_i(oldsymbol{w}^Toldsymbol{x}_i + b) < 0) ，由于约束((3)) 的存在，则 (xi_i geqslant 0) ；若(1 - y_i(oldsymbol{w}^Toldsymbol{x}_i + b) geqslant 0) ，则依然为 $ xi_i geqslant 1 - y_i(oldsymbol{w}^Toldsymbol{x}_i + b)$ 。所以((2),(3)) 式结合起来：
又由于 ((1)) 式是最小化问题，所以取 (xi_i) 的极小值，即令 (xi_i = max(0,1-yf(x))) 代入 ((1)) 式，并令(lambda = frac{1}{2C}) ：
另外可以看到 svm 这个形式的损失函数是自带参数 (oldsymbol{w}) 的(L2) 正则的，而相比之下Logistic Regression的损失函数则没有显式的正则化项，需要另外添加。
4、指数损失(Exponential loss)
exponential loss为AdaBoost中使用的损失函数，使用exponential loss能比较方便地利用加法模型推导出AdaBoost算法 (具体推导过程)。然而其和squared loss一样，对异常点敏感，不够robust。
5、modified Huber loss
modified huber loss结合了hinge loss和logistic loss的优点，既能在(yf(x) > 1)时产生稀疏解提高训练效率，又能进行概率估计。另外其对于((yf(x) < -1)) 样本的惩罚以线性增加，这意味着受异常点的干扰较少，比较robust。scikit-learn中的SGDClassifier同样实现了modified huber loss。
最后来张全家福：
从上图可以看出上面介绍的这些损失函数都可以看作是0-1损失的单调连续近似函数，而因为这些损失函数通常是凸的连续函数，因此常用来代替0-1损失进行优化。它们的相同点是都随着(margin ightarrow -infty)而加大惩罚；不同点在于，logistic loss和hinge loss都是线性增长，而exponential loss是以指数增长。
值得注意的是上图中modified huber loss的走向和exponential loss差不多，并不能看出其robust的属性。其实这和算法时间复杂度一样，成倍放大了之后才能体现出巨大差异：
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