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2017/03/30
1、三角函数n次方的定积分值
令$I_n = int_0^{pi/2} sin^n(x) \,mathrm{d}x = int_0^{pi/2} cos^n(x) \,mathrm{d}x$，则：
egin{equation*}
I_n =
egin{cases}
frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} cdot frac{pi}{2}, & n = 2k \
frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}, & n = 2k+1
end{cases}
end{equation*}
2、球的体积与表面积
将$mathbb{R}^n$中半径为1、中心在原点的球$partial B(0,1)$记为$S^{n-1}$，并将他的“体积”记为$alpha_n$，即$mathbb{R}^n$中的单位球的体积为$alpha_n$。那么显然，在$mathbb{R}^n$中半径为$r$的球的表面积就应该是$n alpha_n r^{n-1}$。由微元法可以知道，半径为$R$的球的体积就应该是$int_o^R n alpha_n r^{n-1} \,mathrm{d}r = alpha_n R^n$。综上所述，可得：
$mathbb{R}^n$中半径为$r$的球的表面积为$n alpha_n r^{n-1}$，体积为$alpha_n r^n$，其中$alpha_n$表示$mathbb{R}^n$中半径为1的球的体积大小，$alpha_n = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2+1)}$.
对于$n!!$，我们有$$n!! = 2^{n/2} Gamma(n/2+1)cdot left( frac{2}{pi} ight)^{(n\%2)/2}, ~(n in mathbb{N}^+, ~n geq 2)$$，其中当$n$为偶数时$n\%2=0$，当$n$为奇数时$n\%2=1$。以后遇到有阶乘和Gamma函数混合的时候，可以用这个式子将所有阶乘全部换成Gamma函数，然后再来进行进一步简化和计算。
3、等纬度的球表面积分
$mathbb{R}^n$中半径为1、中心在原点的球的表面积可以这样计算：即先按照相同的“纬度”求出同纬度的“线圈”的长度，然后再按照“经度”积分。具体如下：$$alpha_n = int_0^{pi} \,mathrm{d} heta int_{S^{n-2}(0,sin heta)} 1\,mathrm{d}S = int_0^{pi} (n-1)cdotalpha_{n-1} cdot (sin heta)^{n-2} \,mathrm{d} heta.$$
基于此，我们可以计算在同纬度函数值相同的球面积分。令函数$f$满足$f(x) = g(x_1), x = (x_1,cdots,x_n) in mathbb{R}^n$，即如果将$x_1$看作轴心的话，则函数$f$在同一个纬度($x_1$相同)的函数值相同。此时，$int_{S^{n-1}} f(x)\,mathrm{d}S(x)$的值可以用等纬度的球表面积分来计算：
egin{align*}
int_{S^{n-1}} f(x)\,mathrm{d}S(x) & = int_0^{pi} r \,mathrm{d} heta int_{S^{n-2}(0,rsin heta)} f(x_1,0,cdots,0)\,mathrm{d}S quad(r = 1)\
& = int_0^{pi} \,mathrm{d} heta int_{S^{n-2}(0,sin heta)} f(cos heta,0,cdots,0)\,mathrm{d}S \
& = (n-1)cdotalpha_{n-1} cdot int_0^{pi} f(cos heta,0,cdots,0) cdot (sin heta)^{n-2} \,mathrm{d} heta.
end{align*}
4、近边估计时需要用到的变换与求导
设$Psi colon x in U mapsto y = Psi(x) in V$是$mathbb{R}^n$到$mathbb{R}^n$的光滑可逆映射，$Psi(x)$有$n$个分量：$Psi(x) = (Psi_1(x), cdots, Psi_n(x))$。记$hat u(y) = hat u(Psi(x)) := u(x)$，并记$P_{ij} = P_{ij}(x) = frac {partial (Psi_i(x))} {partial x_j}$，$P_{ij}^{k} = P_{ij}^{k}(x) = frac {partial (Psi_k(x))} {partial x_i partial x_j}$，同时简记$partial_i = frac {partial} {partial x_i}$，$hat partial_i = frac {partial} {partial y_i}$，则我们有$$partial_i P_{jk} = P_{ki}^{j}, quad ext{and}quad partial_i u(x) = P_{ki} hat partial_k (u(x)) = P_{ki} (hat partial_k hat u)(y).$$
下面给出一个应用例子
egin{align*}
partial_{ij} u(x) & = partial_j (partial_i u(x)) = partial_j (P_{ki} hat partial_k hat u) = (partial_j P_{ki}) (hat partial_k hat u) + P_{ki} partial_j (hat partial_k hat u) \
& = P_{ij}^k (hat partial_k hat u) + P_{ki} P_{ell j} hat partial_{ell} (hat partial_k hat u) \
& = P_{ki} P_{ell j} \, hat partial_{k ell} hat u + P_{ij}^k \, hat partial_k hat u.
end{align*}
如果我们使用矩阵乘法：$sum_i P_{ki}A_{ij} = (PA)_{kj}$，将$P_{ij}$和$P_{ij}^k$对$i,j$形成的矩阵分别记为$P$和$P^k$，并用大写字母$A$表示矩阵$(a_{ij})$的话，那我们就可以得到(用Einstein求和记号)：
egin{align*}
a_{ij}partial_{ij} u(x) & = a_{ij} (P_{ki} P_{ell j} \, hat partial_{k ell} hat u + P_{ij}^k \, hat partial_k hat u )\
& = (P_{ki} a_{ij} P_{j ell}^T \, ) hat partial_{k ell} hat u + (a_{ij} P_{ij}^k ) \, hat partial_k hat u \
& = ((PA)_{kj} P_{j ell}^T \, ) hat partial_{k ell} hat u + ext{tr}(P^k A^T) \, hat partial_k hat u \
& = (PAP^T)_{k ell} hat partial_{k ell} hat u + ext{tr}(P^k A^T) \, hat partial_k hat u \
& = (PAP^T)_{ij} hat partial_{ij} hat u + ext{tr}(P^i A^T) \, hat partial_i hat u.
end{align*}
5、ln|x|的积分
首先，$ln|x|$在$x=0$处是可积分的。通过计算可以得到$$int_0^a ln|x| extrm{d}x = a(ln|a|-1), ~a in mathbb{R}.$$于是$int ln|x| extrm{d}x = x(ln|x|-1) + C$，并且$int_a^b ln|x| extrm{d}x = b(ln|b|-1) - a(ln|a|-1)$。