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2017/02/16
Minkowski不等式：
设$f$是$mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n$上的Lebesgue可测函数，则对任意$1 leq p < +infty$，有$$left( int_{mathbb{R}^n} left| int_{mathbb{R}^n} f(x,y)mathrm{d}y ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p} leq int_{mathbb{R}^n} left( int_{mathbb{R}^n} left| f(x,y) ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p} mathrm{d}y.$$
如何理解这个不等式呢？我们将$f(x,y)$中的$y$看作给定，于是$f(x,y)$就是关于$x$的函数。对于固定的数$y_1, cdots, y_m$，我们可以得到$m$个关于$x$的函数$f(cdot,y_1), cdots, f(cdot,y_m)$。由于$p-$范数$|cdot|_{L^p(mathbb{R}^n)}$满足三角不等式，因此我们有$$|f(cdot,y_1) + cdots + f(cdot,y_m)|_{L^p(mathbb{R}^n)} leq |f(cdot,y_1)|_{L^p(mathbb{R}^n)} + cdots + |f(cdot,y_m)|_{L^p(mathbb{R}^n)}.$$将这个式子写成积分形式，就是$$left( int_{mathbb{R}^n} left| sum_{i=1}^m f(x,y_i) ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p} leq sum_{i=1}^m left( int_{mathbb{R}^n} left| f(x,y_i) ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p}.$$
现在，我们将“对变量$y_i$从1到$m$的求和”推广为“对变量$y$在整个空间$mathbb{R}^n$上的求和(也就是对$mathbb{R}^n$上的积分)”，于是我们就可以得到$$left( int_{mathbb{R}^n} left| int_{mathbb{R}^n} f(x,y)mathrm{d}y ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p} leq int_{mathbb{R}^n} left( int_{mathbb{R}^n} left| f(x,y) ight|^p mathrm{d}x ight)^{1/p} mathrm{d}y.$$
(注：以上并不是对Minkowski不等式的严谨的证明，而只是帮助理解的解释而已。不过严谨的证明就是从上面这个思路来的。)