AVL树
AVL的特征
- 首先,他是一个搜索二叉树
- 其次，左右子树的(height)之差绝对值不超过1，也就是(1geq{|H|}geq{0})。
AVL的调整
-
单旋转
-
双旋转
旋转完成对于该结构的调整，在左左子树操作的时候，右旋，右右子树左旋，左右先左旋后右旋，右左先右旋后左旋。
时间复杂度分析
- 对于一般的搜索树，我们知道插入的操作就是按照顺序进行操作的，可一旦擦喝的数据是一个有序的队列
那么操作的时间复杂度将会退化成(O(N))，但是实际上我们总是希望在树结构当中，访问时间复杂度总是在
一个(O(log_2N))的复杂度。 - AVL应运而生，时间复杂度保持在(O(log_2N))
ALV操作
- 旋转
如果在一棵AVL树中插入一个新结点，就有可能造成失衡，此时必须重新调整树的结构，使之恢复平衡。我们称调整平衡过程为平衡旋转(rotation)。
对于失去平衡的二叉树可以归纳为4种类型：
- RR型：单向左旋平衡处理
结点A是插入后失去平衡的最高层结点
插入后A的右子树的右子树偏高
则进行左旋转
- LL型：单向右旋平衡处理
结点A是插入后失去平衡的最高层结点，
插入后A的左子树的左子树偏高。
则进行右旋转。
- RL型：双向旋转，先右后左
这一部分可以调用上面实现的单旋转函数。
- LR型：双向旋转，先左后右
这一部分可以调用上面实现的单旋转函数。
-
插入
插入操作是在我们的二叉搜索树的基础上面完成的，就是数字小而且左子树空的时候插入左子树，数字大右子树空的时候插入到右边。插入的过程借助递归。另外插入完成之后记得旋转。 -
实现
#include <iostream>
using namespace std;
#define DataType int
/*
定义AVL树的结构体，链式
*/
typedef struct AvlNode{
DataType data;
AvlNode * m_pLeft;
AvlNode * m_pRight;
int height;
}*AvlTree,*Position,AvlNode;
//求两个数的最大值
int Max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
//求树的高度
int Height( AvlTree T)
{
if(NULL == T)
return -1;
else
return T->height;
}
//单旋转右旋(看图操作)
AvlTree singleRotateWithRight(AvlTree T)
{
AvlTree L = T->m_pLeft;
T->m_pLeft = L->m_pRight;
L->m_pRight = T;
T->height = Max( Height(T->m_pLeft),Height(T->m_pRight) ) + 1;
L->height = Max( Height(L->m_pLeft),Height(L->m_pRight) ) + 1;
return L; //此时L成为根节点了（可参考AVL的插入的左左情况的右旋图）
}
//单旋转左旋
AvlTree singleRotateWithLeft(AvlTree T)
{
AvlTree R = T->m_pRight;
T->m_pRight = R->m_pLeft;
R->m_pLeft = T;
T->height = Max( Height(T->m_pLeft),Height(T->m_pRight) ) + 1;
R->height = Max( Height(R->m_pLeft),Height(R->m_pRight) ) + 1;
return R; //此时R成为根节点了（可参考AVL的插入的左左情况的左旋图）
}
//双旋转，先左后右
AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree T) //先左后右
{
T->m_pLeft = singleRotateWithLeft(T->m_pLeft);
return singleRotateWithRight(T);
}
//双旋转，先右后左
AvlTree doubleRotateWithRight(AvlTree T) //先右后左
{
T->m_pRight = singleRotateWithRight(T->m_pRight);
return singleRotateWithLeft(T);
}
AvlTree AvlTreeInsert(AvlTree T, DataType x)
{
if(T == NULL) //如果树为空
{
T = (AvlNode *)malloc(sizeof(struct AvlNode));
if(T)
{
T->data = x;
T->m_pLeft = NULL;
T->m_pRight = NULL;
T->height = 0;
}
else
{
cout << "空间不够" << endl;
exit(0);
}
}
else if( x < T->data) //如果插入到T结点的左子树上
{
T->m_pLeft = AvlTreeInsert(T->m_pLeft,x); //先插入，后旋转
if(Height(T->m_pLeft) - Height(T->m_pRight) == 2) //只有可能是这个看图索引
{
if(x < T->m_pLeft->data) //左左情况，只需要右旋转
{
T = singleRotateWithRight( T );
}
else //左右情况，双旋转,先左
{
T = doubleRotateWithLeft( T );
}
}
}
else if( x > T->data )
{
T->m_pRight = AvlTreeInsert(T->m_pRight,x);
if(Height(T->m_pRight) - Height(T->m_pLeft) == 2)
{
if(x > T->m_pRight->data) //右右情况，进行左旋
{
T = singleRotateWithLeft( T );
}
else //左右情况，双旋转,先右
{
T = doubleRotateWithRight( T );
}
}
}
//如果这个数已经存在，那么不进行插入，二叉搜索树性质决定了不能插入相同的数值
T->height = Max(Height(T->m_pLeft),Height(T->m_pRight)) + 1;
return T;
}
//递归实现中序遍历
void inOrderVisitUseRecur(const AvlTree pCurrent)//二叉树的遍历三种顺序都会存在
{//下一节的森林一般没有中序的遍历
if(pCurrent)
{
inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pLeft);
cout <<"pCurrent->"<<pCurrent->data << " ";
if(pCurrent->m_pLeft)
cout << " leftChild->"<<pCurrent->m_pLeft->data<<" ";
else
cout << " leftChild->"<<"NULL" <<" ";
if(pCurrent->m_pRight)
cout << " rightChild->"<<pCurrent->m_pRight->data<<" ";
else
cout << " rightChild->"<< "NULL"<<" ";
cout << endl;
inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pRight);
}
}
int main()
{
AvlTree root = NULL;
root = AvlTreeInsert(root,1);
root = AvlTreeInsert(root,2);
root = AvlTreeInsert(root,3);
root = AvlTreeInsert(root,4);
root = AvlTreeInsert(root,5);
root = AvlTreeInsert(root,6);
root = AvlTreeInsert(root,7);
root = AvlTreeInsert(root,8);
root = AvlTreeInsert(root,9);
root = AvlTreeInsert(root,10);
root = AvlTreeInsert(root,11);
root = AvlTreeInsert(root,12);
root = AvlTreeInsert(root,13);
root = AvlTreeInsert(root,14);
root = AvlTreeInsert(root,15);
inOrderVisitUseRecur(root);
return 0;
}