群

群论

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1.群的定义

1.二元运算

1. 设(S)与(G)均为集合，则称所有有序实数对((a, b))构成的集合为它们的笛卡尔积，其中(a in S, b in G)，记作(S imes G)。即(S imes G = {(a,b)|a in S, b in G})。
2. 从(S imes S)到(S)的一个映射 (cdot) 称作(S)上的一个二元运算。

2.群的定义

设(G)为一个非空集合，若在(G)上定义一个运算 (cdot) ，满足：

1. 封闭性：对(forall a,b in G)，有(a cdot b in G)。(由此处可知运算 (cdot) 为一二元运算)。
2. 结合性：对(forall a,b,c in G)，有((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。

则称(G)为一个半群，记作((G,cdot))；若((G, cdot))还满足：

3. (exists)单位元(e in G)，使(forall a in G)有(e cdot a = a cdot e = a)。

则称((G, cdot))为一个幺半群；若((G, cdot))还满足：

4. 对(forall a in G)，有(b in G)，使(b cdot a = a cdot b = e)。

则称((G, cdot))为一个群。

又：如果群((G, cdot))满足交换律：对(forall a,b in G)，有(a cdot b = b cdot a)，则称(G)为交换群或(Abel)群。

群中的乘法运算( (cdot) 运算)一般简记为(ab)。如果(ab = ba = e)则称(a)为一个可逆元，并称(b)为(a)的逆元。可逆元(a)的逆元通常记作(a^{-1})。易知可逆元的逆元是唯一的。(即为定义4)

3.群的性质

1. 消去律：设群中的元素(a,b,c)满足(ab = ac)或(ba = bc)，则(b = c)。

证明：若(ab = ac)：

[ab = ac \ a^{-1}ab=a^{-1}ac \ (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c \ eb=ec \ b=c ]

同理可得(ba=ca)时有(b=c)。

2. 若(ab=a)或(ba=a)，则(b=e)。
3. 若(ab=e)或(ba=e)，则(b=a^{-1})。
4. ((a^{-1})^{-1}=a)。
5. ((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1})。

4.元素的阶

1. 由有限多个元素构成的群(G)称为有限群，其中元素的个数记作(|G|)，称为(G)的阶。用(|G|=infty)表示(G)是无限群。
2. 若(a)为是群(G)的一个元素，则使得(a^{n}=e)的最小正整数(n)，称为(a)的阶(或周期)，记为(o(a))。若这样的正整数不存在，则称(a)的阶为无穷。

2.子群

1.子群的定义

设(H)是群(G)的一个非空子集，若(H)满足条件：

1. 乘法封闭：对(H)中的(forall a,b)都有(ab in H)。
2. 求逆封闭：对(H)中的(forall a)都有逆元(a^{-1} in H)。

则称(H)为(G)的一个子群。

2.性质

设(H)为群(G)的一个非空子集，若(ab^{-1} in H)对(forall a,b in H)成立，则(H)是(G)的一个子群。

证明：(1).任取(cin H)，则(e = cc^{-1} in H)；对(forall a in H)，有(a^{-1} = ea^{-1} in H)，因此(H)对求逆封闭。

(2).对(forall a,b)，有(ab = a(b^{-1})^{-1} in H)，因此(H)对乘法封闭。

所以(H)是(G)的一个子群。