时间复杂度和空间复杂度的故事

前言一

很多搞 iOS 开发的同学都没有学过算法，有一些甚至没有学过数据结构。在很多人的观念中，算法和数据结构只是在面试的时候有用。

这些人的想法对吗？在我看来，也对，也不对。

对于 iOS 开发来说，大多数时候都不需要算法和数据结构知识，但是如果你了解了算法和数据结构知识，在一些关键时候，这些知识会影响你的产品质量和开发效率。

很多人排斥学习这方面的知识，除了用得地方少之外，还有一个原因就是这部分知识比较难。

所以我打算写一个轻松学习数据结构和算法的系列，结合 iOS 开发的故事，让大家看看工作中有哪些地方会接触到数据结构和算法。

这是本系列的第二篇，我们讲讲时间复杂度。

前言二

「时间复杂度」这个名称对于非计算机专业的人绝对是一个重磅炸弹，一般在面试的时候，大家对于算法题都还是能想到一些可行的解法的。但是只要面试官一问起「时间复杂度」，好多非科班出身的同学就会马上缴械投降了。

那么时间复杂度真的有那么重要吗？它在实际工作中到底有什么用？我们来看看下面几个故事。

故事一

我在公司里常常会指导一些 iOS 开发的新人，在我带的 iOS 开发新人里面，有一个很聪明的女生，我们这里叫她「Liu 同学」吧。

Liu 同学有一次由于业务需要，得在 iOS 端做一个图片裁剪的工作，图片的内容是白底黑字，她需要写算法把图片周围的空白部分裁剪掉，保留有字的部分。

因为边缘的文字位置大概是知道的，所以她写了一个二分的算法，从图象的边缘文字开始，用二分的方式来寻找边界。当她和我讨论的时候，我问了以下几个问题：

  • 这个图片宽高大概是多少？她回答：宽度约是 600，高度约是 100。

  • 二分的的区域大概是多少？她回答：因为边缘的文字位置大概是知道的，所以二分的高度大概是 50，宽度 600。

于是，我告诉她，即使你完全暴力遍历这个二分区域，也只需要检查 600 * 50 = 30000 个点。对于计算机来说，这点运算量根本不值得花精力写二分查找算法，她听了恍然大悟。

很多时候，懂时间复杂度并不是让你写复杂的代码，而是让你避免写复杂的代码。

故事二

Redis 是一个优秀的服务器组件，你可以把它当缓存使用，也可以把它当作一个 Key/Value 内存数据库来使用。由于它支持持久化，所以你也不用担心内存中的数据丢失。

我有一次阅读到了 Redis 的源码，发现 Redis 在实现字典时选择了一种名为 Skiplist 的数据结构，而不是被广泛使用的红黑树。作者在被问到为什么选择 Skiplist 时答到：「They are simpler to implement, debug, and so forth」。

所以，如果你了解时间复杂度，你就可以更有主见地，根据具体情况来做数据结构的选择，而不是盲目听信权威。

它对我产生的什么帮助呢？在我做移动端开发的时候，我发现移动端的业务场景处理的数据量都非常小，所以我就基于 SQLite 做了一个非常简单的 Key/Value 存储项目 YTKKeyValueStore ( https://github.com/yuantiku/YTKKeyValueStore )，我当然知道这里面有性能损失，但是我在开发之前，就能够依据自己的数据结构经验，判断出这一点性能损失是能够接受的。

故事三

我在高中的时候就对计算机产生了兴趣，当时报名参加了学校的编程兴趣班，并且参加过国家举办的 NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）。当时的 NOIP 比赛需要大家的解题代码不能运行时间过久，但是我当时一直不知道如何估计自己代码的运行时间。

直到进入大学参加 ACM，才从培训中了解到，可以用一些简单的办法的估计程序的运行时间，当时大家流传着一秒钟 大概等于「运行一千万次循环」的时间估算方法。直到那时，我才真正对时间复杂度有了实用性上的认识。

当时做竞赛题目有一些非常简单的技巧：即根据题目给出的数据范围来猜解法的时间复杂度。

举个例子，比如一道题目的输入是一个 A，这个 A 的范围是 0 ~ 100 万，那么在一秒钟的时间限制下，你就只能设计 O(N) 时间复杂度以下的算法。因为如果你的算法复杂度是 O(N^2)，那么运行时间肯定会超过一秒钟。

在工作中，我们也会运用这些技巧来估计海量数据的处理时间。我还记得上周我们要在 Hive （一种分布式计算框架）中处理 5000 万条数据，每条数据大概了 100K。我们设计的算法是 O(N) 时间复杂度的，然后我们简单算了一下，如果不用 Hive 得话得运行好几天，所以虽然麻烦一些，但我们就坚定地选择了写分布式计算程序。

我的估算过程如下：
因为算法是 O(N) 的，所以我们一共需要运算：5000 万 x 100K 次，我们之前说了，1000 万次运算大概要 1 秒，所以我们需要 500000 秒。一天大概是 8 万秒，所以大概需要运行 6 天。

时间复杂度

在工作中，「时间复杂度」的用处在很多时候就像上面那些故事那样，决定了我们用什么样的代价来写代码。

我很早以前很天真的认为，写代码只需要考虑时间复杂度和空间复杂度就够了。而大多数的权衡，都是在时间和空间上做选择，一般时间复杂度优的，占用空间可能会更大一些。

但是我错了，我们除了要考虑程序的运行时间、占用的内存外，还需要考虑该算法实现的成本！一个复杂的算法，在实现上是很可能写出 Bug 的，而我们的工作时间有限，如果能够写简单的算法就能搞定需求，为什么我们要写复杂的代码？

所以，时间复杂度真正的用处，是让我们在写代码之前，就明白计算机运行这些代码的时间。这样，我们就能根据具体的业务需求，选择最合适的写代码的方式，

理论

我们就实用的角度，简单学习一下时间复杂度的理论吧。

时间复杂度是一个偏理论的概念，我们要描述它，首先需要了解它的描述方法，即：「大 O 表示法」。

「大 O 表示法」的准确的数学描述方式非常枯燥，我在这里就不贴出来凑字数了，其实大 O 表示法的意思挺简单的，就是表示：随着输入的值变化，程序运行所需要的时间与输入值的变化关系。如果不理解也没关系，我们看两行代码就很容易懂了。

我们先看第一个代码，这是一个函数，输入一个数组，输出这个数组里元数的和。

int count(int a[], int n) {
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        result += a[i];
    }
    return result;
}

对于这个程序来说，如果它处理 N 个元素求和所花的时间是 T，那么它处理 N 2 个元素的和所花的时间就是 T 2。所以随着 N 变大，时间 T 的变大是与 N 呈「线性」关系的。

在时间复杂度中，我们用 O(N) 表示这种「线性」时间复杂度。

那是不是所有的函数都是「线性」关系的呢？我们再来看下面的程序。这是一个二分查找程序，从一个有序数组中寻找指定的值。

// 来自 https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_algorithm
int binary_search(int A[], int key, int imin, int imax)
{
    if (imax < imin) {
        return KEY_NOT_FOUND;
    } else {
        int imid = midpoint(imin, imax);
        if (A[imid] > key)
            return binary_search(A, key, imin, imid - 1);
        else if (A[imid] < key)
            return binary_search(A, key, imid + 1, imax);
        else
            return imid;
    }
}
 

对于这个程序来说，如果它处理 N 个元素求和所花的时间是 T，那么它处理 N 2 个元素的和所花的时间是多少呢？是 T 2 吗？

如果头脑算不清楚，我们可以拿实际的数字来实验，二分查找每次（几乎）可以去掉一半的候选数字。所以假如 N = 1024，那么它最多要找多少次呢？答案是 10 次，因为 2^10 = 1024，每次去掉一半，10 次之后就只剩下唯一一个元素了。

好，这个时候，如果元素的个数翻一倍，变成 2048 个，那么它最多要找多少次呢？相信大家都能算出来吧？答案是 11 次，因为 2 ^ 11 = 2048。

所以在这个例子中，输入的元素个数虽然翻倍，但是程序运行所花的时间却只增加了 1，我们把这种时间复杂度要叫「对数」时间复杂度，用 O(logN) 来表示。

除了刚刚讲的「线性」时间复杂度和「对数」时间复杂度。我们还有以下这次常见的时间复度数。

「常数」时间复杂度，例如返回一个有序数组中的最小数，这个数因为始终在第一个位置，所以就不会受到数组大小的影响，无论数组多大，我们都可以在一个固定的时间返回结果。

「线性对数」时间复杂度，即 O(N*logN)，这个复杂度比较常见，因为常见的高效的排序算法，都是这个时间复杂度，比如快速排序，堆排序，归并排序等。

别的时间复杂度还有很多，每个具体的问题，我们都可以通过具体的分析，得到这个问题的时间复杂度。

运行时间估算

之前有一个故事中，我提到在 ACM 竞赛中，大家常常简单地把 1000 万次运算当作一秒钟的实际运行时间来估算。这个做法固然是从经验得来的，但是其实我们也可以大概通过计算机的主频来估算过来。

计算机的 主频 表示的是每秒钟产生出来的脉冲个数。我的 MacBook Air CPU 主频是 1.7G 的，所以它的 CPU 每秒产生了 17 亿次脉冲。每次脉冲 CPU 可以执行一条基本的汇编指令。而我们在做 ACM 竞赛时，代码长度通常在 100 行左右，一个循环里面的代码差不多是 100 - 200 条汇编指令，所以 1000 万次循环差不多需要 10 亿 - 20 亿次脉冲来执行汇编指令。当然，这只是一个估算，每一个循环指行的时间和这个循环里面执行的代码逻辑密切相关，所以这个办法只是大概估计，不可严格依赖。

有人问，会产生这么多汇编代码吗？不信的话，其实你完全可以用 Xcode 试试，试出来的结果只会多不会少。在 Xcode 下用 cmd + opt + enter 选择代码分栏模式，然后在右边编辑器上选择「Assembly」, 就可以方便地看到左边源码对应的汇编代码，如下所示：

总结

总结一下学习时间复杂度的知识对于我们的工作有什么用：

  1. 对于不同的数据规模，能够决策采用不同的解决方案。

  2. 了解什么情况下用暴力解法就能够解决问题，避免写复杂的代码。

  3. 在写代码之前，就能够预估程序的运行时间，从而可以知道是否能够满足产品需求。

  4. 在程序出现性能瓶颈时，能够有解决方案而不是抓瞎。

当然，对于大部分人，在 99% 的工作时间内，我们只是做做 iOS 的 UI 界面、处理一些业务逻辑、发一些网络请求、存一些数据到 SQLite 中。或许一年之中，用得上这些知识的只有一、两天时间。

但是，这某种程度上就决定了一个程序员的层次和水平，你觉得呢？

   通常，对于一个给定的算法，我们要做 两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
       算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。

一、事后统计的方法

        这种方法可行，但不是一个好的方法。该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。

二、事前分析估算的方法

        因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。因此人们常常采用事前分析估算的方法。

在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

      (1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4).  机器执行指令的速度。

     一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。

1、时间复杂度 
（1）时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

       另外，上面公式中用到的 Landau符号其实是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析数论》首先引入，由另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推广。Landau符号的作用在于用简单的函数来描述复杂函数行为，给出一个上或下（确）界。在计算算法复杂度时一般只用到大O符号，Landau符号体系中的小o符号、Θ符号等等比较不常用。这里的O，最初是用大写希腊字母，但现在都用大写英语字母O；小o符号也是用小写英语字母o，Θ符号则维持大写希腊字母Θ。
        T (n) = Ο(f (n)) 表示存在一个常数C，使得在当n趋于正无穷时总有 T (n) ≤ C * f(n)。简单来说，就是T(n)在n趋于正无穷时最大也就跟f(n)差不多大。也就是说当n趋于正无穷时T (n)的上界是C * f(n)。其虽然对f(n)没有规定，但是一般都是取尽可能简单的函数。例如，O(2n2+n +1) = O (3n2+n+3) = O (7n2 + n) = O ( n2 ) ，一般都只用O(n2)表示就可以了。注意到大O符号里隐藏着一个常数C，所以f(n)里一般不加系数。如果把T(n)当做一棵树，那么O(f(n))所表达的就是树干，只关心其中的主干，其他的细枝末节全都抛弃不管。
        在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。 按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

   从图中可见，我们应该尽可能选用多项式阶O(nk)的算法，而不希望用指数阶的算法。

      常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

       一般情况下，对一个问题（或一类算法）只需选择一种基本操作来讨论算法的时间复杂度即可，有时也需要同时考虑几种基本操作，甚至可以对不同的操作赋予不同的权值，以反映执行不同操作所需的相对时间，这种做法便于综合比较解决同一问题的两种完全不同的算法。

（3）求解算法的时间复杂度的具体步骤是：

　　⑴ 找出算法中的基本语句；

　　算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

　　⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；

　　只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

　　⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。

　　将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

　　如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如：

[java] view plain copy
  1. for (i=1; i<=n; i++)  
  2.        x++;  
  3. for (i=1; i<=n; i++)  
  4.     　for (j=1; j<=n; j++)  
  5.           x++;  

　　第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。

　　Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为P（Polynomial,多项式）类问题，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题。

        一般来说多项式级的复杂度是可以接受的，很多问题都有多项式级的解——也就是说，这样的问题，对于一个规模是n的输入，在n^k的时间内得到结果，称为P问题。有些问题要复杂些，没有多项式时间的解，但是可以在多项式时间里验证某个猜测是不是正确。比如问4294967297是不是质数？如果要直接入手的话，那么要把小于4294967297的平方根的所有素数都拿出来，看看能不能整除。还好欧拉告诉我们，这个数等于641和6700417的乘积，不是素数，很好验证的，顺便麻烦转告费马他的猜想不成立。大数分解、Hamilton回路之类的问题，都是可以多项式时间内验证一个“解”是否正确，这类问题叫做NP问题。

（4）在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

(1).对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间

(2).对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

(3).对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间

(4).对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则: 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1*T2=O(f(n)*g(n))

(5).对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

 （5）下面分别对几个常见的时间复杂度进行示例说明：

(1)、O(1)

        Temp=i; i=j; j=temp;                     

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

(2)、O(n2)

2.1. 交换i和j的内容

[java] view plain copy
  1. sum=0；                 （一次）  
  2. for(i=1;i<=n;i++)     （n+1次）  
  3.    for(j=1;j<=n;j++) （n2次）  
  4.     sum++；            （n2次）  

解：因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；

2.2.   

[java] view plain copy
  1. for (i=1;i<n;i++)  
  2.  {   
  3.      y=y+1;         ①     
  4.      for (j=0;j<=(2*n);j++)      
  5.         x++;         ②        
  6.  }            

解： 语句1的频度是n-1
          语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1
          f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2；

        又Θ(2n2-2)=n2
          该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).  

　　一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分，当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。     

(3)、O(n)                                                              

[java] view plain copy
  1. a=0;  
  2.   b=1;                      ①  
  3.   for (i=1;i<=n;i++) ②  
  4.   {    
  5.      s=a+b;　　　　③  
  6.      b=a;　　　　　④    
  7.      a=s;　　　　　⑤  
  8.   }  

解： 语句1的频度：2,        
           语句2的频度： n,        
          语句3的频度： n-1,        
          语句4的频度：n-1,    
          语句5的频度：n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
(4)、O(log2n)

[java] view plain copy
  1. i=1;     ①  
  2. hile (i<=n)  
  3.   i=i*2; ②  

解： 语句1的频度是1,  
          设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
          取最大值f(n)=log2n,
          T(n)=O(log2n )

(5)、O(n3) 

[java] view plain copy
  1. for(i=0;i<n;i++)  
  2.    {    
  3.       for(j=0;j<i;j++)    
  4.       {  
  5.          for(k=0;k<j;k++)  
  6.             x=x+2;    
  7.       }  
  8.    }  

解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3).

（5）常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

一个经验规则：其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是2n ,3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

       算法时间复杂度分析是一个很重要的问题，任何一个程序员都应该熟练掌握其概念和基本方法，而且要善于从数学层面上探寻其本质，才能准确理解其内涵。

2、算法的空间复杂度

        类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地"进行的，是节省存储的算法，如这一节介绍过的几个算法都是如此；有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如将在第九章介绍的快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为0(10g2n)；当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为0(n).若形参为数组，则只需要为它分配一个存储由实参传送来的一个地址指针的空间，即一个机器字长空间；若形参为引用方式，则也只需要为其分配存储一个地址的空间，用它来存储对应实参变量的地址，以便由系统自动引用实参变量。

参考1：http://www.cnblogs.com/songQQ/archive/2009/10/20/1587122.html

参考2 ：http://www.cppblog.com/85940806/archive/2011/03/12/141672.html

 
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