第三章 线性模型
3.1 基本形式
线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即
一般用向量形式写成
，其中
w 和 b 学得之后， 模型就得以确定。
3.2 线性回归
对离散属性的处理：
- 若属性值间存在序关系，可通过连续化将其转化为连续值，例如二值属性“身高”的取值“高”“矮”可转化为 {1.0, 0.0}；
- 若属性值间不存在序关系，假定有 k 个属性值，则通常转化为 k 维向量。
均方差误差最小
基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为最小二乘法（least square method）。
线性回归模型的最小二乘参数估计：指求解 w 和 b 使 E(w, b) = ∑(yi - wxi - b)2 最小化的过程。
对数线性回归（log-linear regression）：
广义线性模型：考虑单调可微函数g，令
这样得到的模型称为广义线性模型（generalized linear model），函数 g 称为联系函数（link function）。
3.3 对数几率回归
分类任务如何处理？
对数几率函数（logistic function）：
几率：若将 y 看做样本 x 为正例的可能性，则 1-y 为样本 x 为反例的可能性，这两者的比例称为几率。
对数几率：将上述几率取对数。
对数几率回归：(**)式实际上是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为对数几率回归（logistic regression）。
它是一种分类学习方法。
对数几率回归的优点：
- 它直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，避免了假设分布不准确所带来的问题。
- 它不仅预测出类别，还得到近似概率预测，对许多需利用概率辅助决策的任务很有用。
- 对率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现有的许多数值优化算法都可直接用于求取最优解。
如何确定(**)式中的 w 和 b？
3.4 线性判别分析
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）的思想：
给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影尽可能接近，异类样例的投影尽可能远离。在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来去顶新样本的类别。
3.5 多分类问题
多分类问题的基本思路是拆解法，即将多分类的任务拆为若干个二分类任务求解。
最经典的拆分策略有三种：一对一（One vs. One，简称OvO），一对其余（One vs. Rest，简称OvR）和多对多（Many vs. Many，简称MvM）。
考虑 N 个类别C1,C2,...,CN,
给定数据集 D = {(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)}, yi ∈ {C1,C2,...,CN}
OvO将这 N 个类别两两配对，从而产生 N(N-1)/2 个二分类任务。
OvR是每次将一个类的样例作为正例、所有其他类的样例作为反例来训练 N 个分类器。
MvM是每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类。MvM的正、反类构造必须有特殊的设计，不能随意选取。最常见的MvM技术为纠错输出码（Error Correcting Output Codes, 简称ECOC）。
纠错：在测试阶段，ECOC编码对分类的错误有一定的容忍和修正能力。
- 一般来说，对同一个学习任务，ECOC编码越长，纠错能力越强。
- 对同等长度的编码，理论上来说，任意两个类别之间的编码距离越远，则纠错能力越强。
3.6 类别不平衡问题
前面几个分类学习方法都有一个共同的假设：不同类别的训练样例数目相同。
类别不平衡（class-imbalance）：指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。
以线性分类器为例，在用 y = wTx + b对新样本 x 进行分类时，实际上是在用预测出的 y 值与一个阈值进行比较，大于阈值时为正例，反之则为反例。
1. 正、反例数目相同时的阈值是0.5，即
2. 正、反例数目不同时的阈值是 m+ / (m+ + m-)，即
m+ 表示正例数目，m- 表示返利数目。
这就是类别不平衡学习的一个基本策略——再缩放（rescaling）。
当“训练集是真实样本总体的无偏采样”这个假设不成立时，有以下方法：
| 方法 | 欠采样（undersampling） | 过采样（oversampling） | 阈值移动（threshold-moving） |
| 详情 | 去除一些反例使得正、反例数目接近，然后进行学习 | 增加一些正例使得正、反例数目接近，然后再进行学习 | 直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将再缩放的公式嵌入到决策过程中 |
| 注 | 1. 时间开销较小 2. 不能随机丢弃反例，可能丢失重要信息。 3. 代表算法EasyEnsemble |
1.不能简单的对初始正例样本进行重复采样，否则会招致严重的过拟合。 2. 代表算法SMOTE |
再缩放也是代价敏感学习的基础。 |