引自：https://www.zhihu.com/question/58200555/answer/621174180
https://blog.csdn.net/weixin_45069761/article/details/106758895
为了从两个方面限制梯度：
- 当预测框与 ground truth 差别过大时，梯度值不至于过大；
- 当预测框与 ground truth 差别很小时，梯度值足够小。
考察如下几种损失函数，其中 为预测框与 groud truth 之间 elementwise 的差异：
观察 (4)，当 x 增大时 L2 损失对 x 的导数也增大。这就导致训练初期，预测值与 groud truth 差异过于大时，损失函数对预测值的梯度十分大，训练不稳定。
根据方程 (5)，L1 对 x 的导数为常数。这就导致训练后期，预测值与 ground truth 差异很小时， L1 损失对预测值的导数的绝对值仍然为 1，而 learning rate 如果不变，损失函数将在稳定值附近波动，难以继续收敛以达到更高精度。
最后观察 (6)，smooth L1 在 x 较小时，对 x 的梯度也会变小，而在 x 很大时，对 x 的梯度的绝对值达到上限 1，也不会太大以至于破坏网络参数。 smooth L1 完美地避开了 L1 和 L2 损失的缺陷。其函数图像如下：
综上所述smootn l1 loss 综合了l1 loss 和l2 loss的优点。
L1正则化和L2正则化面试常考题
452 
已收藏 9正则化
L1、L2都是对损失函数的优化，L范式都是为了防止模型过拟合，所谓范式就是加入参数的约束。
L1的作用是为了矩阵稀疏化。假设的是模型的参数取值满足拉普拉斯分布。
L2的作用是为了使模型更平滑，得到更好的泛化能力。假设的是参数是满足高斯分布
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓“惩罚”是指对损失函数中的某些参数做一些限制
L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后求平方根
L1正则化和L2正则化区别
L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合；一定程度上，L1也可以防止过拟合
正则化为什么能降低过拟合程度？并且说明下下L1正则化和L2正则化。
降低过拟合程度：正则化之所以能够降低过拟合的原因在于，正则化是结构风险最小化的一种策略实现。给loss function加上正则化项，能使得新得到的优化目标函数h = f+normal，需要在f和normal中做一个权衡（trade-off），如果还像原来只优化f的情况下，那可能得到一组解比较复杂，使得正则项normal比较大，那么h就不是最优的，因此可以看出加正则项能让解更加简单，通过降低模型复杂度，得到更小的泛化误差，降低过拟合程度。
L1正则化和L2正则化：L1正则化就是在loss function后加正则项为L1范数，加上L1范数容易得到稀疏解(0比较多)。L2正则化就是loss function后加正则项为L2范数的平方，加上L2正则相比于L1正则来说，得到的解比较平滑(不时稀疏)。但是同样能够保证解中接近于0(但不是等于0，所以相对平滑)的维度比较多，降低模型的复杂度。
为什么 L1 正则容易产生稀疏解(很多参数=0)
(1) 从解空间形状方面考虑
把W的解限制在黑色区域内，同时使得经验风险尽可能小，因此取交点就是最优解，从图中可以看出，L2正则化相当于为参数定义了一个圆形的解空间，而L1正则化相当于为参数定义了一个菱形的解空间。L1“棱角分明”的解空间显然更容易与目标函数等高线在脚点碰撞。更容易在棱角取得交点，从而导致出现参数为0的情况，从而产生稀疏解
(2) 从函数叠加方面考虑
可以看到，在加入L1正则项后，最小值在红点处，对应的w是0。而加入L2正则项后，最小值在黄点处，对应的w并不为0。
为什么呢？加入L1正则项后，目标函数变为L(w)+C|w|，单就正则项部分求导，原点左边的值为-C，原点右边的值为C，因此，只要原目标函数的导数绝对值|L’(w)|<C,那么带L1正则项的目标函数在原点左边部分始终递减，在原点右边部分始终递增，最小值点自然会出现在原点处。
加入L2正则项后，目标函数变为L(w)+Cw2，只要原目标函数在原点处的导数不为0，那么带L2正则项的目标函数在原点处的导数就不为0，那么最小值就不会在原点。因此L2正则只有见效w绝对值的作用，但并不能产生稀疏解
(3)从贝叶斯先验角度考虑
从贝叶斯角度来看，L1正则化相当于对模型参数w引入了拉普拉斯先验，L2正则化相当于引入了高斯先验
可以看到，当均值为0时，高斯分布在极值点处是平滑的，也就是高斯先验分布认为w在极值点附近取不同值的可能性是接近的。但对拉普拉斯分布来说，其极值点处是一个尖峰，所以拉普拉斯先验分布中参数w取值为0的可能性要更高
写的很详细1
写的很详细2
L2为什么能降低过拟合
在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减(weight decay)的由来，更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好(这个法则也叫做奥卡姆剃刀)
参考文章1
参考文章2
L1和L2比较分析
(1) 鲁棒性
L1鲁棒性比L2更好
L1对异常点不太敏感，而L2则会对异常点存在放大效果
L1-norm(最小绝对值偏差)相比于L2-norm(最小均方)，它的鲁棒性更好，对数据中的异常点有很好的抗干扰能力，异常点可以安全的和高效的忽略，如果异常值对研究很重要，最小均方误差则是更好的选择。
对于L2-norm，由于是均方误差，如果误差>1的话，那么平方后，相比L1-norm而言，误差就会被放大很多，因此模型会对样例更敏感
(2) 稳定性
L2比L1更稳定
对于新数据的调整，L1的变动很大，而L2的则整体变动不大
假设我们把绿色的点向右移动一点，L2维持了和原回归线一样的形状，可是在L1样例中，回归线的斜率更陡了，并且影响到了其它点的预测值，假设我们把绿色的点水平向右移动得更远，L2变化了一点，但是L1变化更大了，L1的斜率完全改变了，
只要数据点的稍稍调整，L1回归线就会变化很多，这就是L1不稳定性的表现之处
