考虑一个连通的平面图，有V个节点，E条边和F个面。（面是一个封闭的区域，图形外部的区域也算作一个面）
定理：任意一张连通平面的节点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系可以有公式V+F=E+2表示。
证明：我们用归纳法的一个变形（双重归纳）来证明这个定理。首先对节点数进行归纳，然后在对面数进行归纳。
首先考虑只有一个面的图。这样的图不会含回路；否则，回路至少构成一个面，回路以外构成另一个面。（注：连通无回路的图被称为树。）我们先证明对任意树，V+1=E+2成立。
第一个归纳假设：有n个节点的叔有n-1条边。
在对面数进行归纳时将上述命题作为归纳基础。
主要的归纳假设：有n个免得平面图如果有E条边和V个节点，那么V+n=E+2。
考察有n+1个面的图，一定存在一个面f,使得f与最外面的那个面相邻。因为如果f是面，故f一定是由回路构成的。既然去掉这条回路上的一条边，图仍然连通，那么我们去掉f与最外面的那个面之间的那条边。这样就少了一个面和一条边，证毕。