关于正交阵与实对称正交阵的专题讨论

正交阵

$f命题：$设$A,B$为$n$阶实正交阵，且$det left( {A + B} ight) = det left( A ight) -det left( B ight)$，证明：$det left( A ight) = det left( B ight)$

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$f命题：$设$A,B$为$n$阶正交阵，则$n-r(A+B)$为偶数当且仅当$det left( A ight) = det left( B ight)$

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$f命题：$设$A$为一个$n$阶非零实矩阵，若${A_{ij}} = {a_{ij}}$，则$A$为正交阵且$left| A ight| = 1$

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$f命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，若${A^k} = E$，则$A$为正交阵

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$f命题：$设$A$为$n$阶正交阵，$A{x_i} = {x_i}left( {i = 1,2, cdots ,n - 1} ight)$，且${x_1}, cdots ,{x_{n - 1}}$线性无关，$left| A ight| = 1$，求$A$

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$f命题：$设$A$为$n$阶正交阵，则$rleft( {A - E} ight) = r{left( {A - E} ight)^2}$

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$f命题：$设$A$为正交阵，$A$的特征值全为实数，证明：$A$为对称阵

$(02川大六)$设$A,B$均为$n$阶实正交阵，$t$为矩阵${A^{ - 1}}B$的特征值$-1$的重数，证明：

(1)$|AB|=1$当且仅当$t$为偶数   (2)$r(A+B)=n-t$

实对称正交阵

$f(07华师四)$设$A$为实矩阵，证明：若下面三条中任意两条成立，则另一条也成立

(1)$A$为正交阵   (2)$A$为对称阵   (3)${A^2} = E$

$f(12首都师大十)$设$A$为$n$阶实对称正交阵，证明：存在整数$m$，使得$tr(A)=n-2m$

$f(11中南四)$设$A$为$n$阶实对称正交阵，且$1$为$A$的$r$重特征值

(1)求$A$的相似对角阵   (2)求$|3E-A|$

$f命题：$设$A$为正交阵且正定，证明：$A=E$