关于对称阵与反对称阵的专题讨论

$f命题：$$n$阶实对称阵$A$的第一行乘以一个正数不改变其正特征值的个数

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$f命题：$设$A$为实反对称阵且$B$为正定阵，则$left| {A + B} ight| ge left| B ight|$

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$f命题：$设$A$为实对称可逆阵，$B$为实反对称阵，$AB=BA$，证明：$A+B$可逆

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$f命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，$lambda $为最大特征值，则$frac{1}{n}sumlimits_{i,j = 1}^n {{a_{ij}}}  le lambda $

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$f命题：$设$n$元二次型$fleft( x ight) = {x^T}Ax,fleft( alpha   ight) > 0,fleft( eta   ight) < 0$，则存在线性无关的向量$xi ,eta $，使得$fleft( xi   ight) = fleft( eta   ight) = 0$

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$f命题：$设$A,B$为实对称阵，证明：$tr(ABAB) leqslant trleft( {AABB} ight)$

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$f命题：$

$f(14南开九)$设$A,B$均为反对称阵且$A$可逆，证明：$left| {{A^2} - B} ight| > 0$

$f(05川大十二)$是否存在非零的反对称实矩阵$A$，使得$A$相似于一个实对角阵？证明你的结论