[leetcode] Unique Binary Search Trees

Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

这是一道典型的动态规划题目，因为有重叠的子问题，当前决策依赖于子问题的解
我设dp[i]表示共有i个节点时，能产生的BST树的个数
n == 0 时，空树的个数必然为1，因此dp[0] = 1
n == 1 时，只有1这个根节点，数量也为1，因此dp[1] = 1
n == 2时，有两种构造方法.

因此，dp[2] = dp[0] * dp[1] + dp[1] * dp[0]
n == 3时，构造方法如题目给的示例所示，dp[3] = dp[0] * dp[2] + dp[1] * dp[1] + dp[2] * dp[0]
同时，当根节点元素为 1, 2, 3, 4, 5, ..., i, ..., n时，基于以下原则的BST树具有唯一性：
以i为根节点时，其左子树构成为[0,...,i-1],其右子树构成为[i+1,...,n]构成
因此，dp[i] = sigma（dp[0...k] * dp[k+1...i]） 0 <= k < i - 1

class Solution
{
public:
  int numTrees(int n)
  {
    if(n == 0) return 1;

    int dp[n+1];
    memset(dp, 0, (n+1) * sizeof(int));
    dp[0] = dp[1] = 1;

    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
      for(int j=0; j<i; j++)
        dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1];
    }

    return dp[n]; 
  }
};