PS:这些是今年4月份，跟斯坦福UFLDL教程时的实验报告，当时就应该好好整理的…留到现在好凌乱了
Softmax Regression实验报告
1.Softmax Regression实验描述
Softmax回归模型是逻辑回归模型的推广，它可以把数据分类到两个以上的类别。在本实验中，我们的目标是采用Softmax回归模型对MNIST手写数字数据库进行分类，识别每个手写数字，把它们归类于0到9之间的10个类别。实验中需要计算成本函数J，参数Theta，成本函数的梯度
，及预测假设h。
Figure1:some examples from the dataset
2.实现流程
Step 0：初始化常数和参量
Step 1 ：加载数据
Step 2 ：计算成本函数和梯度
Step 3 ：梯度检查（若检查结果差距过大，返回step2）
Step 4 ：学习参数
Step 5 ： 测试
3.每步关键点及代码、注释
Step 0：初始化常数和参量
在MNIST数据库中，每个图像都由28x28像素的方块构成。实验的分类数量为10，分别对应0-9十个数字。
Step 1 ：加载数据
练习中已经提供了两个读取数据的函数，loadMNISTImages，loadMNISTLabels。实际实验中要根据数据存放的路径，和文件名修改对应代码。
Step 2 ：计算成本函数和梯度
这是这次实验中最关键也是最难的地方。要解决这个问题，需要熟练Matlab矢量化表示，详细分析每个矩阵的维度大小，每行每列都分别什么。
数据X是一个n x m矩阵，n = inputSize 为输入向量的维度，在本实验中为每个图像的像素数28x28=784，m = numCases 为训练样本的总数，在本实验中为60,000。
假设函数h的表达式如下,在这里h是一个k x m 的矩阵。k = numClasses 为类别数，在这里是10 ：
实际运行中，
这项有可能过大，导致内存溢出。处理方法是对假设函数矩阵h中的每列的指数项
都减去一个常数
，在这里选取每列的
等于每列
中最大的一项，具体实现代码如下所示。
M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));
M = exp(M);
p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));
参数Theta的结构如下，它是一个k x n的矩阵。
y是对每个手写数字图像正确分类的标签集合，是一个k x m的矩阵。
成本函数J的表达式如下：
成本函数梯度的表达式如下：
下面是matlab实现上述表达式的Matlab源码。
softmaxCost.m
%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------
% Instructions: Compute the cost and gradient for softmax regression.
% You need to compute thetagrad and cost.
% The groundTruth matrix might come in handy.
M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));
M = exp(M);
p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));
cost = -1/numCases * groundTruth(:)' * log(p(:)) + lambda/2 * sum(theta(:) .^ 2);
thetagrad = -1/numCases * (groundTruth - p) * data' + lambda * theta;
Step 3 ：梯度检查
在实际训练样本数据之前，应该总是进行梯度检查。以确保实际得到的梯度与数值计算得到的梯度尽可能接近，在本实验中要小于10 e-9。如果这个差值过大，则应该重新检查算法的实现代码。
本实验中用到了checkNumericalGradient.m函数，需要从之前的实验中获得。
在这里最后梯度检查的差值为7.4657e-10，具体运行过程已附在文后。
Step 4 ：学习参数
在本实验中优化函数常用minFunc_2009,是有Mark Schmidt 编写的一个Matlab优化工具箱，采用Limited-memory BFGS等算法实现最优化。
由于Matlab版本问题，起初使用2012版出现错误，后改用2009版minfunc才能正常运行。
优化代码如下所示：
% Use minFunc to minimize the function
addpath minFunc/
options.Method = 'lbfgs'; % Here, we use L-BFGS to optimize our cost
% function. Generally, for minFunc to work, you
% need a function pointer with two outputs: the
% function value and the gradient. In our problem,
% softmaxCost.m satisfies this.
minFuncOptions.display = 'on';
[softmaxOptTheta, cost] = minFunc( @(p) softmaxCost(p, ...
numClasses, inputSize, lambda, ...
inputData, labels), ...
theta, options);
Step 5 ： 测试
测试时需要先把 softmaxExercise.m 中 DEBUG 设为 false ,跳过调试部分直接运行测试代码。
假设函数矩阵中h的每一列为给出的针对不同数字的概率，预测时找出每一列中概率最大的元素，令其为1，列中其余元素为0。具体实现代码如下。
softmaxPredict.m
%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------
% Instructions: Compute pred using theta assuming that the labels start from 1.
% theta : numClasses(k) x inputSize(N)
% pred : size(label) -> m x 1
M = bsxfun(@minus,theta*data,max(theta*data, [], 1));
M = exp(M);
h = bsxfun(@rdivide, M, sum(M));
[Y,pred] = max(h, [], 1);
4.实验结果及运行环境
实验结果
对最后10,000个测试集合，预测的精确度为：92.640%
耗时：91.919秒
运行环境
处理器： AMD A6-3420M APU with Radeon(tm) HD Graphics 1.50 GHz
RAM：4.00GB(2.24GB可用)
OS：Windows 7,32 bit
Matlab：R2012b(8.0.0.783)
minFunc:minFunc_2009
5.附录：实际运行结果
>> softmaxExercise
Iteration FunEvals Step Length Function Val Opt Cond
1 3 1.92327e-01 2.10164e+00 4.70649e+01
2 4 1.00000e+00 7.85859e-01 2.66517e+01
3 6 2.46921e-01 6.62726e-01 1.44533e+01
4 7 1.00000e+00 6.09112e-01 8.55839e+00
5 8 1.00000e+00 5.38142e-01 6.62115e+00
6 9 1.00000e+00 5.17398e-01 1.71550e+01
7 10 1.00000e+00 4.64872e-01 6.08330e+00
8 11 1.00000e+00 4.51595e-01 3.75876e+00
………..
95 101 1.00000e+00 2.67229e-01 8.72547e-03
96 102 1.00000e+00 2.67227e-01 8.84766e-03
97 103 1.00000e+00 2.67226e-01 1.00373e-02
98 104 1.00000e+00 2.67225e-01 1.68570e-02
99 105 1.00000e+00 2.67224e-01 7.52862e-03
100 106 1.00000e+00 2.67223e-01 5.98523e-03
Exceeded Maximum Number of Iterations
Accuracy: 92.640%
Elapsed time is 91.878679 seconds.
>> memory
Maximum possible array: 1021 MB (1.071e+09 bytes) *
Memory available for all arrays: 1809 MB (1.897e+09 bytes) **
Memory used by MATLAB: 521 MB (5.467e+08 bytes)
Physical Memory (RAM): 2297 MB (2.408e+09 bytes)
* Limited by contiguous virtual address space available.
** Limited by virtual address space available.
>>
