argmin ，argmax函数

在数学中，ARG MAX（或ARGMAX）代表最大值，即给定参数的点集，给定表达式的值达到其最大值：

$underset{x}{operatorname{arg\,max}} \, f(x) := {x | forall y : f(y) le f(x)}$

换一种说法，

$underset{x}{operatorname{arg\,max}} \, f(x)$

是f（x）具有最大值M的x的值的集合。例如，如果f（x）是1- | x |，那么它在x = 0时达到其最大值1并且仅在那里，所以 $underset{x}{operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = {0}$ . $underset{x}{operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = {0}$ .

等价地，如果M是f的最大值，那么arg max是最大值的水平集

$underset{x}{operatorname{arg\,max}} \, f(x) = f^{-1}(M) = {x | f(x) = M }$

如果最大值达到一个值，那么一个将该点称为arg max，这意味着我们将arg max定义为一个点，而不是一组点。所以，例如

$underset{xin Bbb{R}}{operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5$

（而不是单独集合{5}），因为x（10-x）的最大值是25，这在x = 5时发生。但是，如果在许多值处达到最大值，则arg max是一组点。然后，我们举例说

$underset{x in [0,4pi]}{operatorname{arg\,max}} \, cos(x) = {0,2pi,4pi}$

因为cos（x）的最大值是1，当x =0,2π或4π时，这个间隔发生。在整个实线上，arg max是 ${0, 2pi, -2pi, 4pi, dots }.$

arg min（或argmin）被类似地定义.

还要注意函数通常不会达到最大值，因此通常不会有arg max: $underset{xin Bbb{R}}{operatorname{arg\,max}}\, x$ 没有定义，因为x在实线上是无界的。然而，通过极值定理（或经典致密性理论），紧凑区间上的连续函数具有最大值，因此arg max。

argmin 表示使目标函数取最小值时的变量值