参考书:F. R. Gantmacher 《The Theory of Matrices》Vol. 1
1. 伴随算子(adjoint operator)
我把伴随算子记作 (A^dagger),因为它对应着量子力学书里的厄米算子:
显然,(A) 的伴随算子的矩阵表示,就是矩阵 (A) 的幺正矩阵 (A^dagger)。
1.1 如果线性空间 (S) 是 (A) 的不变子空间,那么 (S) 的补空间 (T) 一定是 (A^dagger) 的不变子空间。
(forall vec{x} in S, vec{y} in T),都有 (A vec{x} in S),即
而
即 (A^dagger vec{y} otin S),即 (A^dagger vec{y} in T),即 (T) 为 (A^dagger) 的不变子空间。
2. 正规算子(normal operator)
正规算子即满足 (A A^dagger = A^dagger A) 的算子 (A),显然,厄米算符、幺正算符都是正规算子。
2.1 对易的算子一定有共同本征矢
任意两个对易的算子都一定有共同的本征矢。教材思路是通过不变子空间来论证。
若 (AB = BA),且 (Avec{x} = lambda vec{x}),则有
所以一定存在 (A) 的不变子空间 ({ vec{x}, Bvec{x}, cdots, B^{p-1} vec{x} }),(B^{p}vec{x})是这些矢量的线性表达。
显然这个不变子空间也是 (B) 的不变子空间,所以(?)其中一定存在 (B) 的特征矢量 (vec{y}),它也是 (A) 的特征矢量,
2.2 正规算子 (A) 一定与 (A^dagger) 有共同的本征矢,且相应的本征值互为复共轭。
- 因为 (A) 与 (A^dagger) 对易,所以它们一定有共同本征矢,设为 (vec{x}),设有 (Avec{x} = lambda vec{x}, A^dagger vec{x} = mu vec{x}),则有((vec{x}, Avec{x}) = lambda = (A^dagger vec{x}, vec{x}) = (vec{x}, A^dagger vec{x})^* = mu^*)。
- 用这个共同本征矢如上述构造不变子空间(S = { vec{x}, Avec{x}, cdots }),它是 (A, A^dagger) 的共同不变子空间,根据1.1的论证,(S) 的补集 (T) 也同时是 (A, A^dagger) 的不变子空间,因为是不变子空间,所以一定存在 (A) 的一个特征矢量,如2.1论证,拿着这个向量构造 (A,A^dagger) 在 (T) 中的不变子空间,又可以得到 (A,A^dagger) 的共同本征矢。
- 如此迭代,一定可以穷尽这个线性空间,得到 (A, A^dagger) 的共同的正交归一本征矢,本征值互为复共轭。
2.3 正规算子的不同本征值对应的本征向量一定互相正交
假如有 (Avec{x} = lambda vec{x}, Avec{y} = mu vec{y}, lambda eq mu),则有
所以有 ((mu - lambda)(vec{y}, vec{x}) = 0),即 ((vec{y}, vec{x]}) = 0),得证。
2.4 如果一个算子(A)有完整的特征向量,则一定是正规算子
若 (Avec{x}_k = lambda_k vec{x}_k, (vec{x}_i, vec{x}_k) = delta_{ik}),假设
则
因为 (vec{x}_k) 穷尽整个线性空间,所以可以断定 (vec{y}_l = 0, A^dagger vec{x}_l = ar{lambda}_l vec{x}_l)。
那么,对线性空间中的任意矢量 (vec{p} = sum_k c_k vec{x}_k), 有
所以 (AA^dagger = A^dagger A),(A) 是正规算子。
话说,存在没有完整特征向量的算子吗?
3. 欧几里得空间中的线性算子
- 在欧几里得空间(R)中,可以定义转置算子(A^ op), s.t. (forall vec{x}, vec{y}, (Avec{x}, vec{y} ) = (vec{x}, A^ op vec{y}))。
- 然后,在此基础上定义正规算子:(A A^ op = A^ op A)。
- 对称算子: (A^ op = A);反对称算子:(A^ op = -A)。
- 还可以定义正交算子:(Q^ op Q = E)。
- 显然,对称、反对称、正交算子都是正规算子
3.1 欧几里得空间中的线性算子在复数矢量空间中的谱
问题:复数矢量空间 (vec{z} = vec{x} + vec{y}) 的维数也是 (n) 吗?(未回答)
实数矩阵的特征方程 (P_n(lambda)=0) 系数都是实数,若存在 (lambda_k) 使得 (P_n(lambda_k) = 0),则必有 (ar{P}_n(lambda_k) = P_n(ar{lambda_n}) = 0),所以实数矩阵的特征值一定要么是实数,要么是成对出现的互为共轭的复数:
若 (A vec{z} = lambda vec{z}),则 (A vec{ar{z}} = ar{lambda} vec{ ar{z}}),所以特征值也是复共轭成对出现。
推得
如果定义矢量内积为
GantMacher 定义的是 ((vec{z}, vec{w}) = vec{z} cdot overline{ vec{w} }),但这个差别不应该影响任何重要结论,我写上面的约定是因为习惯了这种内积定义式。
3.2 欧几里得空间中的正规算子
(R) 空间中的正规算子 (A) 有 (A^ op A = A A^ op),类似于 #2 中的论证可以得到,正规算子 (A) 与 (A^ op) 有共同的本征矢,互为共轭的本征值。根据 2.3 中的推断,({ vec{z}_1, vec{z}_2, cdots, vec{z}_{2q-1}, vec{z}_{2q}, vec{x}_{2q+1}, cdots, vec{x}_{n} }) 两两正交,所以归一化以后是一个正交归一基。
(vec{z}_{2k-1}, vec{z}_{2k})正交,即
得到结论:(vec{x}_k, vec{y}_k) 正交归一。
所以,({ vec{x}_1, vec{y}_1, cdots, vec{x}_{q}, vec{y}_{q}, vec{x}_{2q+1}, vec{x}_{2q+2}, cdots, vec{x}_{n} })也是正交归一基。用这些正交归一基构造矩阵
则有
这叫做正则形式(canonical form)。
3.3 对称算子、反对称算子
欧几里得空间 (R) 中的对称算子在拓展的 ( ilde{R} = vec{x} + i vec{y}) 中是厄米算子,所以所有本征值都是实数,(
u_k = 0),所以能通过正交变换得到对角阵。
欧几里得空间 (R) 中的反对称算子乘以 (i) 以后是对称算子,在拓展的 ( ilde{R} = vec{x} + i vec{y}) 中是厄米算子,所以所有本征值都是实数,所以反对称算子的所有本征值都是纯虚数,(mu_k = 0),所以能通过正交变换得到正则反对称阵。
后面有一段特别漂亮,是利用这些代数结论,说明欧拉-达朗贝尔定理:三维空间中任何一个定点有限转动都是绕某个轴的一个定轴转动。但是我懒得打了,下次有兴趣再来整理。