从点云到网格（三）Poisson重建

Possion重建是Kazhdan等2006年提出的网格重建方法[1]。Possion重建的输入是点云及其法向量，输出是三维网格。Poisson有公开的源代码[2]。PCL中也有Poisson的实现。

核心思想

Possion重建是一个非常直观的方法。它的核心思想是点云代表了物体表面的位置，其法向量代表了内外的方向。通过隐式地拟合一个由物体派生的指示函数，可以给出一个平滑的物体表面的估计。

给定一个区域(M)及其边界(partial M)，指示函数(chi_M)定义为

这样，把重构(S = partial M)的问题转换为重构(chi_M)的问题。作者给出了将点云及其法向量和(chi_M)联系起来的公式。作者论文中的图1非常形象地描述了这二者的联系。

基本思路

对于任意点(pin partial M)，定义(vec{N}_{partial M}(p))为向内的表面法向量，( ilde{F}(q))为一个平滑滤波器，( ilde{F}_p(q)= ilde{F}(q-p))为( ilde{F})沿(p)方向的平移。因为(chi_M)一般意义上是不好求导的，这里用(chi_Mast ilde{F})的导数来近似。

从法向量到梯度空间

梯度空间的近似

由于(vec{N}_{partial M})的分布是未知的，需要通过观测值(P=leftlbrace left( p_i,n_i ight) ight brace)来近似。考虑离散点集(Omega)，(partial M)被分割为互不相交的区域(wp_s,sinOmega)。((1))可以转化为积分求和，并将每个小积分近似为常函数，用代表点(s.p)对应的函数值和(wp_s)的面积的乘积代替。

这里希望平滑滤波器( ilde{F})能够尽量地窄，不过分平滑数据，同时尽量地宽，使得积分近似能够更准确。高斯滤波器是一种常见的选择。

求解Possion问题

向量空间(vec{V})和指示函数( ilde{chi})满足

[ abla ilde{chi}=vec{V} ag{3} ]

然而，(vec{V})通常意义上是没法积分的（为什么？）。为了得到((3))式的最小二乘解，将((3))式两边求导，就得到了拉普拉斯方程

[Delta ilde{chi}= ablacdotvec{V} ag{4} ]

拉普拉斯方程在数学上有很详细的研究。

实现细节

空间划分

为了解一个偏微分方程问题，首先要将其离散化。最简单的方法是将空间划分为均匀网格。这种划分非常占内存空间，而且只有边界附近的值才是我们关心的，大量的空间被浪费了。作者采用了一种自适应的网格结构octree来划分空间，并且octree上定义了一个函数空间(F_o)。下图给出了octree在三维空间对一个物体的划分。物体边缘的网格密度远大于远离物体的网格密度。

http://http.developer.nvidia.com/GPUGems2/elementLinks/37_octree_03.jpg

空间上的基函数选择

如何选择函数空间(F_o)实际上挺有学问的。因为(F_o)一旦给定，定义在这个octree上的向量空间(vec{V})和指示函数(chi)都会通过(F_o)的线性组合去近似。这样，求解(chi)就转化为求解(F_o)上的参数组合，进而转化为求解一个线性方程组。

给定octree的深度(D)，作者根据选择了下面的基函数(F)。

(*n)代表(n)次卷积。当(n)趋向于无穷时，(F)趋向于高斯函数，它的定义域也越来越大。当(n=3)时，定义域为([-1.5,1.5]^3)。

octree上某个节点(o)对应的函数(F_o)定义为

[F_o(q)equiv Fleft(frac{q-o.c}{o.w} ight)frac{1}{(o.w)^3} ]

其中(o.c)是的(o)中心，(o.w)是(o)的宽度。假设根节点（第0层）的宽度为(W)，那么第(d)层节点的宽度为(frac{W}{2^{d}})。这个函数空间和小波空间很像。

Possion求解

Possion求解方法是L2投影（L2 projection）[3]。定义octree的节点集合为(O)。向量空间(vec{V})可以近似为

[vec{V}(q)equiv Sigma_{sin Omega}Sigma_{oin Ng(s)}alpha_{o,s}F_o(q)s.vec{n} ]

其中(Ng(s))是(s)的八个最近邻的叶节点，(alpha_{o,s})是三线性插值的权重。

虽然(vec{V})和( ilde{chi})都可以在函数空间上表示出来，(Delta ilde{chi})和( ablacdotvec{V})却未必有定义。因此将((4))近似为最小化其在(F_o)上的投影

[Sigma_{o} lVertlangle Delta ilde{chi}- ablacdotvec{V},F_o anglelVert^2=Sigma_{o} lVertlangle Delta ilde{chi},F_o angle-langle ablacdotvec{V},F_o anglelVert^2 ]

令( ilde{chi}=Sigma_ox_oF_o)，那么求解( ilde{chi})即是求解(x_o)。

[langle Delta ilde{chi},F_{o'} angle=Sigma_{o}x_{o}langle Delta F_o,F_{o'} angle ]

[Sigma_{o} lVertlangle Delta ilde{chi},F_o angle-langle ablacdotvec{V},F_o anglelVert^2 =Sigma_{o'}lVertSigma_ox_olangle Delta F_o,F_{o'} angle-langle ablacdotvec{V},F_{o'} anglelVert^2 ]

上式右边对(x=lbrace x_o brace)求偏导，转化为

[min limits_{x}leftlVert Lx-v ightlVert ^2 ]

其中，设octree的节点数为(N)，(N imes N)矩阵(L)在((o,o'))位置上的值为

[L_{o,o'}equiv langlefrac{partial^2 F_o}{partial x^2},F_{o'} angle+langlefrac{partial^2 F_o}{partial y^2},F_{o'} angle+langlefrac{partial^2 F_o}{partial z^2},F_{o'} angle ]

表面提取

用Marching Cubes类似的方法。注意iso的值取自(S)个划分的平均。

作者还讨论了非均匀采样下的算法，在此就不赘述。

Poisson分析

简单列几点

Poisson在边缘处的锐度比VRIP要好。这是因为VRIP在大的边缘处TSDF的累加会有平滑效应，而Poisson依据的是法向量，不会引入额外的平滑。
VRIP是局部方法，每次只更新当前深度图对应的TSDF。Poisson是全局方法。
从个人使用经验上看，Poisson对于噪声更加鲁棒一些。点云法向量估计的精度不能太差。
如果重建出奇怪的形状（分层、分块），请查看原始点云是否平滑，是否有噪声，调整生成网格的分辨率以适应点云。

小结

Poisson是个好方法。

参考文献

[1]. Kazhdan, Michael, Matthew Bolitho, and Hugues Hoppe. "Poisson surface reconstruction." Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing. Vol. 7. 2006.
[2]. http://www.cs.jhu.edu/~misha/Code/PoissonRecon/Version8.0/
[3]. http://www.featflow.de/en/software/featflow2/tutorial/tutorial_l2proj.html