Logistic混沌映射
1 引言
如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。而这些特性正符合序列密码的要求。1989年Robert Matthews在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
2 Logistic映射分析
一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：
Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]
其中 μ∈[0,4]被称为Logistic参数。研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。如下图所示：
可以看出，在μ的取值符合3.5699456<μ<=4的条件，特别是比较靠近4时，迭代生成的值是出于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，在经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值，这对于我们来说是不可接受的。
下图中描述了X0值一定时，对于不同的μ的取值，迭代可能得到的值：
图中的点即表明了所有可能的X取值范围。从图中我们可以看出，在μ越接近4的地方，X取值范围越是接近平均分布在整个0到1的区域，因此我们需要选取的Logistic控制参数应该越接近4越好。
在μ的值确定之后，我们再来看看初始值X0对整个系统的影响。刚才也说过了，混沌系统在初始值发生很小变化时，得到的结构就会大相径庭，在Logistic混沌映射中也是如此。
上图显示的是X0= 0.663489000和X0= 0.663489001，μ=3.99时两个Logistic序列之差的图像，很明显，在最开始20多次迭代，两者的差很小，近似等于0，但随着迭代次数的增加，两个序列的值显示出一种无规律的情形，两者相差也比较大了。因此可以看出该系统具有很好的雪崩效应。
我们在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况，使雪崩效应扩大，这样可以具有更好的安全性。
最后我们再来看看Logistic的随机分布特性，一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的。我们对X0=0.2，μ=3.9999的Logistic混沌映射进行30000次迭代后对其值进行统计，分布情况如下表所示：
分布区间
个数
所占百分比
0 - 0.1
5919
19.73%
0.1 - 0.2
2685
8.95%
0.2 - 0.3
2218
7.39%
0.3 - 0.4
2140
7.13%
0.4 - 0.5
1890
6.30%
0.5 - 0.6
1973
6.58%
0.6 - 0.7
1937
6.46%
0.7 - 0.8
2310
7.70%
0.8 - 0.9
2733
9.11%
0.9 - 1
6195
20.65%
从上表中我们可以看出，Logistic映射的迭代序列的分布并不是均匀的，对于其他的X0取值也有类似的结构。而且从表中我们还可以看出，其分布是一种两头大中间小的情形。虽然分布情况并不是很平均，但是对于一般情形来说，Logistic映射序列是可以满足我们的需求的。而且我们可以对其想办法加以改进，使之可以获得更好的平均性。
3 总结
本文对Logistic混沌映射进行了一些粗浅的分析，分析了控制参数对其的影响、Logistic的雪崩效应、序列值的分布情况。在初值和控制参数都会改变的情况下，该系统还是具备很好的安全性的。目前已经有很多人提出基于Logistic的改进算法，很好地改进了平均性。Logistic算法在图像加密领域已经有不少论文出现，目前对其的研究也很成熟了，我们可以对其加以改进使之符合矢量数据加密的要求。
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