算法第二章上机实践报告

组员：高珞洋，何汶珊

实践题目

7-2 改写二分搜索算法
设a[0:n-1]是已排好序的数组，请改写二分搜索算法，使得当x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。
输入有两行：第一行是n值和x值；第二行是n个不相同的整数组成的非降序序列，每个整数之间以空格分隔。
输出格式：输出小于x的最大元素的最大下标i和大于x的最小元素的最小下标j。当搜索元素在数组中时，i和j相同。提示：若x小于全部数值，则输出：-1 0 若x大于全部数值，则输出：n-1的值 n的值

问题描述

这道题和平常的二分搜索不同的地方子在于不需要中位数，而是需要表示所找数在数列中左右两个数的位置（如果找到则这两个位置相同，即为所找数的位置）
较为繁琐的是需要考虑的临界情况增加了，当所找数小于或大于所有数的时候都要额外讨论。
但是在课后，我们考虑到，输出的数要么是一样的（找到），要么就差一（找不到），那么我是不是可以只用一个数来表示，这样就不用两个变量表示左右两个数的位置了
根据上述想法，有了以下代码

算法描述

算法主体为biSearch方法，设置position这个全局变量作为最终结果
我们规定，找不到的时候用position和position + 1作为结果
那么首先要确定的是，找不到的情况下position的值应该是多少呢？
既然是position和position + 1，那么position的值应该是目标数左边的数的位置，即比较小的数的位置，再考虑到进入这个分支的条件是left > right
此时比较小的数是list[right]，那么，在找不到的这种情况下position的值应该是right
和基本的二分搜索不同的是，我们将二分搜索的找到的情况列出，放在递归调用前，作为停止递归调用的条件之一。
因为实际上只有一个变量position，而输出的时候有两种情况，找到（输出position和position）或者找不到（输出position和position + 1），区分这两种输出，我们额外设置一个全局变量isFound作为判断是否找到的标志，其值在找到或者找不到的方法里进行修改，方便修改isFound的值也是将找到的情况放在递归调用前的原因之一。
之后的递归调用不多说，若目标数大于中位数递归右半部分，小于中位数递归左半部分

算法时间及空间复杂度

时间复杂度

单次调用的时间为O(1)，因为实质上就只有判断找到、找不到、进行递归三种情况的语句（包括找到或找不到的执行语句）
根据递归调用，数组的长度是n，二分后是n/2，再二分后是n/4……直到二分到1结束（最坏情况）
那么假设二分的次数为Y，则有

n*（1/2）^Y=1；
Y = Logn.

最终时间复杂度有：（不算数组输入时间）

T(n) = Logn * O(1) = O(Logn)

空间复杂度

所定义的全局变量所产生的空间复杂度为O(1)，更多的是递归调用所产生的空间
每次递归都会定义一个空间存放mid，空间复杂度为O(1)，循环次数求得为Logn
最终空间复杂度有：（不算数组空间）

S(n) =O(1) + Logn * O(1) = O(Logn)

心得体会

不要被题目的条件所限定。此题题目说明有两个参数“小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j”，一开始我们也是设置了两个全局变量保存这两个数，但是会让代码显得比较冗长。但是这两个值相互关联，因此可以只用一个值代替。
使用的语言本身会对程序的运行时间造成影响，比如C++ < Java，有时候运行超市，说不定不是算法的问题而是所用语言的问题。这体现了C语言追求性能，而Java追求效率

源码

import java.util.Scanner;

public class Main{
    private static int position;
    private static boolean isFound;
    private static void biSearch(int[] list, int left, int right, int target, int n){
        int mid = (left + right) / 2;
        //找不到
        if (left > right) {
            position = right;
            isFound = false;
            return;
        }

        //找到了
        if(list[mid] == target) {
            position = mid;
            isFound = true;
            return;
        }

        if(list[mid] < target) {  //目标大于中位数
            biSearch(list, mid + 1, right, target, n);
        } else {        //目标小于中位数
            biSearch(list, left, mid - 1, target, n);
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);

        int n = input.nextInt();
        int target = input.nextInt();
        int[] list = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            list[i] = input.nextInt();
        }

        biSearch(list, 0, n - 1, target, n);
        if(!isFound) {
            System.out.println(position + " " + (position + 1));
        } else {
            System.out.println(position + " " + position);
        }
    }
}