1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵
orthonormal 向量定义为 
，任意向量 
相互垂直，且模长为1；
如果将 orthonormal 向量按列组织成矩阵，矩阵为 Orthogonal 矩阵，满足如下性质：
；
当 
为方阵时，
为其逆矩阵；当 
为长方形矩阵时，
为其左逆；
当矩阵 Q 为正交矩阵时，对向量变换变换前后点积不发生改变，
，证明如下：
，当 x = y 时，有 
。
对任意向量 b ，可以分解为一组正交向量的线性组合，
，要求解系数x，可先写成矩阵形式：
，
，
；
因此，向量 b 可分解为 
。
2 Gram-Schmidt 与 QR 分解
对矩阵 
，可以将其转换为正交矩阵 
，方法如下：
1）向量 
方向保持不变，将其长度归一化， 
；
2）向量 
可分解为向量 
投影分量与垂直于向量 的两分量，剔除投影分量得 
，
；
3）同理，剔除向量 
在 ， 上投影分量得 
，
；
4）依照如上方法，可以对所有向量完成正交化。
以上处理可以使用矩阵表示，矩阵 Q 为矩阵 A 的列进行线性变换结果，故可写为 A=QR 。
1）向量 与向量 
具有相同方向，故可表示为 
；
2）向量 
被分解为 
方向向量，可表示为 
；
3）向量 
被分解为 
方向向量，可表示为 
；
4）综上表示为矩阵形式 
。
3 求解 Ax=b
使用 Gram-Schmidt 可将矩阵 A 转换为正交矩阵 Q，正交矩阵 Q 可简化 Ax=b 运算：
1）最小二乘法求解 
；
2）带入 
得 
，化简得 
；
3）不管长方形矩阵还是方阵，都有 
，故上式可化简为 
；
4）由于 R 为上三角矩阵，使用回代法即可求解。
4 函数空间
向量 QR 分解可以推广到函数，向量内积表示各分量乘积之和，对于连续函数可表示为 
，
函数长度可表示为 
，使用函数内积与函数长度定义，可以对函数按向量投影方法进行类似分解。
1）最小二乘法求解近似函数
给定函数 
，求解在区间 
上的二阶近似函数 
。
a. 令 
，表示在区间 上，对于任意 
都有 
；
b. 使用最小二乘法得 
，
；
c. 转换为积分得 
，可求解 k, b 。
2）Legendre polynomials
以上方程 使用高斯消元法求解，但随着多项式次数增加，消元法会产生很大的截断误差。
使用 Gram-Schmidt 方法，将各个多项式基转换为正交函数，可以简化运算。
设原始多项式基为 
，可做如下变换：
a. 保持第一个函数方向不变，对长度进行归一化处理，
；
b. 函数 x 与函数 1 在区间 上正交，故仅需对长度归一化，
；
c. 函数 
与函数 x 和 1 在区间 上均不正交，减去投影分量使其正交，
，
，
带入求解得 
；
d. 使用同样方式求得 
，
。
通过以上函数基，任意多项式可以改写为以上函数基的线性组合。当仅使用几个低阶函数基表示时，类似线性代数投影近似。
对给定函数 ，求解在区间 上的二阶近似函数 使用多项式函数基求解如下：
函数 在 
上投影为：
；
整理得 
。
3）傅里叶级数
函数的傅里叶级数使用三角函数为基线性展开，三角函数是互相正交的，当进一步对其归一化后构成一组函数基。任意函数被三角函数分解为：
，对应系数为函数与归一化三角函数内积
，
。
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
Gram-Schmidt for functions: Legendre polynomials S. G. Johnson, MIT course 18.06