一 概述
在分析中，函数y=f(x)将输入值x变换到输出值y，同样对向量
左乘矩阵A，矩阵A将向量X变换为向量Y。使用矩阵A对向量进行变换称为线性变换。向量X可以分解为n个基向量的和
，如果已知矩阵A对n个基向量的变换结果，则可以得到矩阵A对任意向量变换结果，公式如下：
。通过该公式，可以得到求解变换矩阵A的简单方法：
1）在向量空间中选择简单单位基向量，如 
；
2）对基向量 
应用规定的变换（及矩阵A欲实施的变换）得到向量 
，该向量即为矩阵A的第一列值；
3）依次对其他基向量做应用类似2）的操作，得到矩阵A的其他列的值。
二 二维空间上的基本变换
旋转变换：根据变换矩阵计算方法，基向量 
逆时针旋转 
后为 
，基向量 
逆时针旋转 
后为 
，任意向量X逆时针旋转 
的变换矩阵Q为：
，图示如下：
投影变换：根据变换矩阵计算方法，基向量 
在线L上投影点为 
，基向量 
在线L上投影点为 
，任意向量X在线L上的投影变换矩阵P为：
，图示如下：
镜像变换：镜像变换H可以根据投影变换推导出来，根据图形得 
， 
，图示如下：
三 使用内积表示投影变换
余旋定理：根据下图可得：
，
，
，
。
投影到直线上：根据下图可得：
，
其中 
为任意点到直线A的投影变换矩阵。
四 罗德里格斯公式
在三维空间中，任意向量X绕特定轴K旋转 
可表示特定矩阵Q对X的线性变换，以下根据图示给出罗德里格斯（Rodrigues）公式推导：
1）向量X沿旋转轴K平行方向和垂直方向分解为：
；
2）
为向量X到旋转轴K的投影：
；
3）向量W垂直于
与K构成的平面，
，
；
4）由图示可知，
可由三个相互正交的向量表示：
，
；
5）定义叉乘矩阵为：
，则有 
；
6）得到变换矩阵为：
。
参考资料：Linear Algebra And Its Applicaions Gilbert Strang