[Violet]樱花/阶乘分解

又到了一年樱花盛开的时节。Vani 和妹子一起去看樱花的时候，找到了一棵大大的樱花树，上面开满了粉红色的樱花。Vani 粗略估计了一下，一共有足足 ! n 片花瓣。

Vani 轻柔地对她说：“你知道吗？这里面的一片花瓣代表着你，我从里面随机摘一片，能和你相遇的概率只有

相信我，我一定会把这亿万分之一的缘分变为永远。”

粉红的樱花漫天飞舞，妹子瞬间被 Vani 感动了。她轻轻地牵起了他的手，和他相依而坐。这时，她突然看到田野的尽头也长着两棵樱花树，于是慢慢地把头靠在 Vani 的肩上，在他耳边低语：“看到夕阳里的那两棵樱花树了吗？其中一棵树上的一片花瓣是你，另一棵树上的一片花瓣是我，如果有人从这棵摘下一片，从那棵采下一瓣，我们相遇的概率会不会正好是

Vani 的大脑飞速运作了一下，立即算出了答案。正要告诉妹子，她突然又轻轻地说：“以前你总是说我数学不好，但是这种简单的题我还是会算的。你看假如左边那棵树上有 x片花瓣，右边那个有 y 片花瓣，那么我们相遇的概率不就是

它正好可以等于

显然，面对天然呆的可爱妹子，Vani 不但不能吐槽她的渣数学，而且还要老老实实地帮她算出答案哦。

题目描述

求不定方程

的正整数解(x,y)的数目。

输入格式

一个整数n。

输出格式

一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对 $10^9+7取模。$

秒速五厘米，那是樱花飘落的速度，那么怎样的速度，才能走完我与你的距离

1.化简可得(x+y)*(n!)=xy; [式子1]
根据原式我们知道x,y>(n!)
设x=(n!)+c;y=(n!)+d;
代入式子1得
c*d=(n!)*(n!)
也就是说我们要求(n!)*(n!)的约数个数

2.我们先用线性筛一遍质数

根据算术基本定理：每个大于1的自然数均可写为质数的积

那么他的约数个数就是指选取其中任意个质因数组合，论有多少种方法

#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define ll long long
#define inc(i,l,r) for(ll i=l;i<=r;++i)
 
using namespace std;
template<typename T>inline void rd(T&x)
{
    char c;bool f=0;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;
    x=c^48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);
    if(f)x=-x;
}

const int maxn=1000001;
ll n,ans=1,num;

int cnt[maxn],notprime[1000005],prime[1000005];

inline void Prime()
{
    inc(i,2,n)
    {
        if(!notprime[i])
        {
            prime[++num]=i;
        }
        for(int j=1;j<=num;++j)
        {
            if(prime[j]*i>n)break;
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}


int main() 
{

    rd(n);
    
    Prime();

    inc(i,1,num)
    {
        for(int j=prime[i];j<=n;j+=prime[i])
        {
            int x=j;
            while(x%prime[i]==0)
            {
                ++cnt[i];
                x/=prime[i];
            }
        }
        cnt[i]<<=1;
    }
    
    inc(i,1,num)
    ans=(ans*(cnt[i]+1))%1000000007;
//加一的原因是因为可以选1~cnt[i]个，也可以不选
    
    printf("%d",ans);
    re 0;
}

正确的数学姿态是:我们发现N!中质数因子p的个数,就是1~N中每个数含有的质因数p个数.既然如此的话,那么我们发现,至少有一个质因子p的显然有n/p个,而至少有两个质因子p数的显然是有（n/p）/p个