1.
设m，n为正整数，m为奇数，求证2m-1和2n+1互素
反证法：假设d=（2m-1，2n+1）≥2,则存在x，y∈z，2m=dx+1，和2n=dy-1
则存在u，v∈z，2mn=du+1,2nm=dv-1（注意m为奇数） 于是d（u-v）=2，矛盾，得证
2.
m为正整数，证明若2m+1为素数，则m为2的整数次幂
利用n为奇数时，x+y|x^n+y^n（可以由归纳法证明），设m≥2，含有素因子p
则2^（m/p）+1|2^（m/p）*p +1^p 与题设矛盾
3.
a，b，c为整数，证明[(a,b),(a,c)]=(a,[b,c])
（利用算数基本定理）
引理1：
max{min(x,y),min(x,z)}=min{x,max(y,z)}
证明：
∵min(x,y)<=x, min（x，z）<=x ∴ max{。。。}<=x
类似的可以证明max{。。。}<=max{y，z}
∴ max{。。。}<=min{。。。}
min{x,max(y,z)}<=x ，<=max（y，z）
∴min{x,max(y,z)}<=min（x，y）（y>=z）
min{x,max(y,z)}<=min（x，z）（z>=y）
∴ min{x,max(y,z)}<=max{min(x,y),min(x,z)}
由上，引理得证。
之后利用gcd求解