看了一下拉格朗日反演 写一下大致过程
有(F(x))和(G(x))常数项都为零且一次项不为零，且(F(G(x))=x)
那么有
[sum_i a_i cdot G^i(x) = x\
]
求导
[sum_i a_i cdot i cdot G^{i - 1}(x) cdot G'(x) = 1\
]
同时除以(G^n(x))
[sum_i a_i cdot i cdot G^{i - n - 1}(x) cdot G'(x) = frac{1}{G^n(x)}\
]
考虑([x^{-1}])项
[[x^{-1}] sum_i a_i cdot i cdot G^{i - n - 1}(x) cdot G'(x) = [x^{-1}]frac{1}{G^n(x)}\
]
由于(i ot= n)时有
[G^{i - n - 1}(x) cdot G'(x) = frac{1}{i - n}(G^{i - n}(x))'
]
可见当(i ot= n)时是没有([x^{-1}])的贡献的,所以
[[x^{-1}] a_n cdot n cdot G^{-1}(x) cdot G'(x) = [x^{-1}] frac{1}{G^n(x)}
]
又因为
[[x^{-1}]G^{-1}(x) cdot G'(x) = 1
]
所以
[a_n = frac{1}{n} [x^{-1}] frac{1}{G^n(x)}
]
即为拉格朗日反演