梯度下降以及其定义
方向导数directional derivative：在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数
梯度gradient的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）
梯度实际上就是多变量微分的一般化。
下面这个例子：
首先给出数学公式：
此公式的意义是：J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！
梯度下降法的三种形式BGD、SGD以及MBGD
在应用机器学习算法时，我们通常采用梯度下降法来对采用的算法进行训练。其实，常用的梯度下降法还具体包含有三种不同的形式，它们也各自有着不同的优缺点。
下面我们以线性回归算法来对三种梯度下降法进行比较。
一般线性回归函数的假设函数为：
!对应的能量函数（损失函数）形式为：
下图为一个二维参数（θ0和θ1）组对应能量函数的可视化图：
批量梯度下降法BGD
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，简称BGD）是梯度下降法最原始的形式，它的具体思路是在更新每一参数时都使用所有的样本来进行更新，其数学形式如下：
(1) 对上述的能量函数求偏导：
(2) 由于是最小化风险函数，所以按照每个参数θ的梯度负方向来更新每个θθ： θ的梯度负方向来更新每个θ：θ：
具体的伪代码形式为：
从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果样本数目mm很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！所以，这就引入了另外一种方法，随机梯度下降。
优点：全局最优解；易于并行实现；
缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢。
从迭代的次数上来看，BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：
随机梯度下降法SGD
由于批量梯度下降法在更新每一个参数时，都需要所有的训练样本，所以训练过程会随着样本数量的加大而变得异常的缓慢。随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）正是为了解决批量梯度下降法这一弊端而提出的。
将上面的能量函数写为如下形式：
利用每个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新θ：
θ：
具体的伪代码形式为：
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将theta迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。
但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
优点：训练速度快；
缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现。
从迭代的次数上来看，SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：
小批量梯度下降法MBGD
有上述的两种梯度下降法可以看出，其各自均有优缺点，那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢？
即，算法的训练过程比较快，而且也要保证最终参数训练的准确率，而这正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD）的初衷。
MBGD在每次更新参数时使用b个样本（b一般为10），其具体的伪代码形式为：
总结
Batch gradient descent: Use all examples in each iteration；
Stochastic gradient descent: Use 1 example in each iteration；
Mini-batch gradient descent: Use b examples in each iteration.