素数分组 哥德巴赫猜想

题目描述

最少把1~n 分成多少组，可以使得每组的数的和为素数

输入

有多组数据
第一行是一个数T，表示数据组数
每组数据共1 行，为正整数n

输出

有T 行，每行为该情况的最少组数，无法分组时，输出-1

样例输入

1 2

样例输出

1

 

 

哥德巴赫猜想裸题

首先如果sum(n)是偶数，即两个素数之和，writeln(2)

如果sum(n)是奇数，那么分类讨论，如果sum(n)是质数，1即可

如果不是素数

check(sum(n)-2),如果是素数，就是3了

 

关于证明：

我们首先把1~n全部加起来，那么我们相当于把1~n分成了一组

我们知道：任意一个偶数都可以表示为两个质数之和

如果(∑n and 1)=0那么就是2个质数之和了

否则，如果∑n不为偶数，我们还需要分类讨论，

分类为，奇质数和非奇质数，奇质数好说，既然都是质数了，那么直接和就是一组，writeln(1)

否则，我们对于这个非质数，我们拿这个数去减2

2是唯一的偶质数，任意一个大于7的奇数可以表示为三个质数之和

由数学归纳法，若2不在三个质数中，那么往大更不在。

所以若减2之后不是质数writeln(3)即可，否则输出2即可。

判断质数用miller-rabin，大大优化常数

代码如下：

{$inline on}
var j,k,l,n,m,s,t:int64;
    b:boolean;
    i:longint;
    a:array[2..6] of integer=(3,5,7,13,19);
 
const count=10;
      pri:array [0..10] of longint=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31);
 
function multi(a,b,m:int64):int64;
var ans:int64;
begin
  ans:=0;
  a:=a mod m;
  while b<>0 do
    begin
      if (b and 1)=1 then
        begin
          ans:=(ans+a) mod m;
          dec(b);
        end;
      b:=b>>1;
      a:=(a+a) mod m;
    end;
  exit(ans);
end;
 
function gcd(x,y:int64):int64;
begin
  if x mod y=0 then
    exit(y)
  else exit(gcd(y,x mod y));
end;
 
function quick_mod(a,b,m:int64):int64;
var ans:int64;
begin
        ans:=1; a:=a mod m;
        while b<>0 do
                begin
                        if (b and 1)=1 then
                                begin
                                        ans:=multi(ans,a,m);
                                        dec(b);
                                end;
                        b:=b>>1;
                        a:=multi(a,a,m);
                end;
        exit(ans);
end;
 
function prime(n:int64):boolean;
var m,k,a,x,y:int64; i,j:longint;
begin
  if n=2 then exit(true);
  if (n<2) or ((n and 1)=0) then exit(false);
  m:=n-1; k:=0;
  while (m and 1)=0 do
        begin
                inc(k);
                m:=m>>1;
        end;
  randomize;
  for i:=0 to count do
        begin
          a:=random(n) mod (n-1)+1;
          x:=quick_mod(a,m,n);
          y:=0;
          for j:=0 to k-1 do
                begin
                        y:=multi(x,x,n);
                        if (y=1) and (x<>1) and (x<>n-1) then exit(false);
                        x:=y;
                end;
          if y<>1 then exit(false);
        end;
  exit(true);
end;
 
 
procedure start; inline;
var s:int64;
begin
  s:=n*(n+1) shr 1;
  if n>=7 then
  if (s and 1)=0 then
    writeln('2')
  else
  if (prime(s)) then
    writeln('-1')
  else
  if prime(s-2) then
    writeln('2')
  else
    writeln('3');
  if (n<7) then
  begin
    if odd(n) then s:=n*(n shr 1+1) else s:=(n+1)*(n shr 1);
    m:=s-a[n];
    if m=0 then writeln('1') else writeln('2');
  end;
end;

procedure main; inline;
begin
  read(t);
  for i:=1 to t do
  begin
    read(n);
    if (n=0)or(n=1) then writeln('-1')
    else start;
  end;
end;

begin
      main;
end.