洛谷 P2899 [USACO08JAN]手机网络Cell Phone Network

思路

题意

(n)个点，(n-1)条边（这就告诉我们这是一棵树），一个点染色可以传递给相邻的结点（也就是说相邻结点相当于被染色了）并将这些相邻结点覆盖，问最少染多少个结点可以完全覆盖这(n)个结点

做法

首先，这是一道树形DP基础题

那么，我们考虑一个结点可以被谁染色，不难想出，可以有(3)种情况：被自己染色，被儿子染色，被父亲染色

我们用(f[i][0/1/2])分别表示(i)这个结点被自己/儿子/父亲染色的最小染色数，即用(f[i][0])表示自己对自己染色了，用(f[i][1])表示自己被儿子染色了，用(f[i][2])表示自己被父亲染色了

那么就可以推出三种状态，我们设目前结点为(u)，他的儿子结点为(v)

(1.)自己被自己染色

这时我们可以想一下，(u)被自己染色可以由什么转移过来，如果(u)已经被自己染色了的话，他的儿子(v)可以选择自己染色，也可以选择被自己（(v)）的儿子染色，当然也可以被(u)染色，当然，我们要选最小的，所以转移方程就是

[f[u][0] += min (f[v][0], f[v][1], f[v][2])(v in son_u) ]

(2.)被自己的父亲结点染色

如果被父亲结点((fa))染色了，那么(u)的儿子(v)只能选择自己染色或者被它的儿子染色，转移方程为

[f[u][0] += min (f[v][0], f[v][1])(vin son_u) ]

(3.)被自己的儿子结点染色

这是最麻烦的一种情况，因为(u)可能有多个儿子，只要有一个儿子自己染色了，就可以将(u)覆盖，这种情况就成立了

而现在它的儿子有两种情况，分别是自己染色和被它儿子染色

我们可以先假设每个儿子都是被它自己染色（(v)被自己染色）的，然后看一下(u)的每个儿子（(v)）被其儿子染色是否使结果变得更小，把能让结果更小的自己染色（(v)自己染色）的儿子替换为被其儿子染色的儿子（(v)被它儿子染色）的儿子

(参考了(ysner)大佬的思路)

那么怎么实现呢？

先让(f[u][1])加上所有的(f[v][0])（也就是假设所有的(v)目前都是自己给自己染色的）
在进行一的同时，用一个(g)数组，表示(v)被儿子染色所需的价值减去(v)被自己染色的价值的差值，同时用一个变量(tot)记录一下一共有多少个儿子，即(g[++tot] = f[v][1] - f[v][0])
如果(u)没有儿子，即(tot)为(0)，说明(u)是一个叶结点，那么就没有从儿子来的价值，因为转移的时候我们要取小的，所以就把(f[u][1])设为一个极大值
如果(u)有儿子，就将(g)从小到大排序，如果是负值，我们就可以替换，因为是负值的话就说明，此时的(f[v][1])比(f[v][0])小，所以就可以替换，只要是负的，值越小越好，所以就排序一下，是负的就替换，否则就(break)，当然我们最多替换(tot-1)个，因为要保证(u)被染色，必须有一个儿子是自己染色的

至此主要部分就讲完了，需要注意的是每次(dfs)的时候先将(f[u][0])设为(1)，因为自己给自己染色肯定至少为(1)

然后我们就做完啦~~

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

inline int read() {
	char c = getchar();
	int x = 0, f = 1;
	for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
	return x * f;
}

const int M = 1e5 + 11;
const int INF = 1e9 + 17;

int n, m;
int f[M][3];//f[i][0/1/2]0表示被自己染了，1表示被儿子染了，2表示被父亲染了 

struct node {
	int nxt, to;
} e[M];

int head[M], cnt;

inline void add(int from, int to) {
	e[++cnt].to = to;
	e[cnt].nxt = head[from];
	head[from] = cnt;
}

bool cmp(int x, int y) {
	return x > y;
}

void dfs(int u, int fa) {
	int tot = 0, g[M]; f[u][0] = 1;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		f[u][0] += min(f[v][0], min(f[v][1], f[v][2]));
		f[u][2] += min(f[v][0], f[v][1]);
		f[u][1] += f[v][0];
		g[++tot] = f[v][1] - f[v][0];
	}
	if(!tot) f[u][1] = INF;
	else {	
		sort(g + 1, g + 1 + tot);
		for(int i = 1; i < tot; i++) {
			if(g[i] < 0) f[u][1] += g[i];
			else break;
		}
	}
	return;
}

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int x = read(), y = read();
		add(x, y), add(y, x);
	}
	dfs(1, 0);
	printf("%d", min(f[1][0], f[1][1]));
	return 0;
}